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Cerchi

Sei unità sui cerchi: elementi e ricerca del centro, pi greco e lunghezza della circonferenza con i limiti poligonali di Archimede, area ricavata riordinando settori, lunghezza dell'arco e area del settore come frazioni di 360°, angoli al centro e alla circonferenza con l'angolo nel semicerchio, tangenti perpendicolari al raggio e segmenti di tangente uguali da uno stesso punto. Trascina un punto sulla circonferenza, sviluppa un cilindro e un cono e seleziona le fette di un diagramma a torta.

Progressi

Informazioni sul corso

La definizione di cerchio di Euclide, nel Libro I, Definizione 15 dell'edizione di D. E. Joyce, descrive una figura piana delimitata da una linea, tale che tutti i segmenti tracciati da un punto interno fino a essa siano uguali. Le note di Joyce sottolineano due differenze rispetto all'uso odierno. Per Euclide il cerchio è la regione piana e la linea curva è la circonferenza. Inoltre non aveva una parola distinta per il raggio: scriveva «la linea dal centro». La parola inglese centre viene da un termine greco che significa anche pungolo o attizzatoio, un riferimento alla punta fissa del compasso.

Le sei unità iniziano dagli elementi del cerchio: gli assi di due corde su un piatto si incontrano in un unico punto, il centro. Seguono pi greco e circonferenza, con Archimede che racchiude pi greco tra 3 10/71 e 3 1/7. MacTutor ricorda che William Jones fu il primo a usare π nel significato attuale, nel 1706, e che Zu Chongzhi (dal 430 al 501) propose 355/113, corretto fino a sei decimali. L'area del cerchio confronta una pizza di 30 cm con una di 20 cm: 1.5 volte il diametro, 2.25 volte la quantità da mangiare. Lunghezza dell'arco e area del settore usano una lancetta dei minuti di 10 cm, che in 20 minuti descrive 120°. L’unità Angoli al centro e alla circonferenza comprende il Libro III, Proposizione 31 di Euclide: l'angolo nel semicerchio misura 90°. L'ultima unità mostra che da un punto distante 13 cm dal centro di un cerchio di raggio 5 cm, i due segmenti di tangente misurano esattamente 12 cm. Nei laboratori trascini un punto sulla circonferenza, sviluppi un cilindro e un cono e selezioni le fette di un diagramma a torta.

Prima di iniziare

Le frazioni di un giro completo aiutano a trovare lunghezze di archi e aree di settori. Angoli aiuta anche nei ragionamenti su angoli al centro, alla circonferenza e tangenti. La prima lezione identifica le parti del cerchio, così distingui raggio, diametro, corda e tangente prima di usare formule.

Alla fine

Saprai trovare il centro di un cerchio dalle corde, distinguere raggio e diametro e calcolare circonferenza e area. Potrai usare una frazione di 360° per un arco o un settore, collegare angoli al centro e alla circonferenza, riconoscere l’angolo retto in una semicirconferenza e usare tangenti uguali dallo stesso punto esterno.

  1. 1Elementi del cerchio: raggio, diametro, corda, arco, settore e tangenteDisegna due corde qualsiasi su un piatto rotondo. Le rette che dividono ciascuna corda a metà ad angolo retto si incrociano in un punto solo, e quel punto è il centro.
  2. 2Pi greco e lunghezza della circonferenzaAvvolgi una corda una volta attorno a qualsiasi oggetto circolare e risulterà lunga un po' più di tre diametri. Archimede incastrò quel «un po' di più» tra 3 10/71 e 3 1/7.
  3. 3Area del cerchio: perché πr²Una pizza di 30 cm di diametro è larga 1.5 volte una pizza da 20 cm, ma ha 2.25 volte la quantità da mangiare.
  4. 4Lunghezza dell'arco e area del settoreIn 20 minuti la punta di una lancetta dei minuti di 10 cm descrive 120°, un terzo del quadrante dell'orologio, e percorre circa 20.9 cm.
  5. 5Angoli al centro e alla circonferenzaUnisci un punto qualsiasi di una circonferenza ai due estremi di un diametro e l'angolo in quel punto misura esattamente 90°. Euclide lo dimostrò come proposizione 31 del libro III.
  6. 6Tangenti: l'angolo retto nel punto di contatto e i segmenti di tangente ugualiDa un punto a 13 cm dal centro di un cerchio di raggio 5 cm, i due segmenti di tangente misurano esattamente 12 cm.

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Fonti di questo corso (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Consultato il: 2026-10-19