Pi greco e lunghezza della circonferenza

Avvolgi una corda una volta attorno a qualsiasi oggetto circolare e risulterà lunga un po' più di tre diametri. Archimede incastrò quel «un po' di più» tra 3 10/71 e 3 1/7.

Misura tre oggetti rotondi

Procurati una tazza, un piatto e una lattina di bibita. Per ciascuno, avvolgi una striscia di carta una volta intorno al bordo, segna il punto in cui si sovrappone, poi stendila e misurala. Quella lunghezza è la lunghezza della circonferenza, cioè la distanza lungo tutto il contorno del cerchio. Poi misura il diametro attraverso la parte superiore, passando per il centro. Supponi che la tazza misuri 8 cm di diametro e 25.1 cm di circonferenza, e il piatto 24 cm di diametro e 75.4 cm di circonferenza. Dividi la distanza lungo il contorno per quella attraverso il cerchio. Per la tazza, 25.1 ÷ 8 = 3.1375. Per il piatto, 75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417. Il piatto è largo tre volte la tazza, eppure i due quozienti coincidono fino a due cifre decimali.

Quel quoziente è lo stesso per ogni cerchio, piccolo o grande, e ha un nome: pi greco, scritto π. OpenStax lo riporta come π = 3.141592654…, il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il diametro. Poiché il rapporto non cambia mai, ne seguono subito due formule. La lunghezza della circonferenza è C = πd e, dato che d = 2r, anche C = 2πr. Un cerchio con diametro 10 cm ha una circonferenza lunga 10π ≈ 31.4 cm. Le tue misurazioni non daranno mai π esattamente. La carta si allunga, i bordi hanno uno spessore e un righello indica soltanto i millimetri. Misurando ottieni le prime due cifre. Per andare oltre, serve un ragionamento.

Racchiudere π tra due poligoni

Archimede di Siracusa trovò un modo per intrappolare π senza misurare nulla. Disegna un esagono regolare dentro una circonferenza, con i suoi sei vertici sulla circonferenza. L'esagono si divide in sei triangoli equilateri che si incontrano nel centro, quindi ogni lato è uguale al raggio e il perimetro è 6r = 3d. La circonferenza sporge all'esterno di ogni lato, quindi è più lunga di 3d: π > 3. Disegna ora un quadrato attorno alla circonferenza, che la tocca in quattro punti. Il suo lato è uguale al diametro, quindi il suo perimetro è 4d, e la circonferenza sta al suo interno: π < 4.

Raddoppiare il numero dei lati restringe entrambi i limiti. Per una circonferenza di diametro 1, OpenStax elenca i perimetri: con 8 lati, tra 3.0615 e 3.3137; con 16 lati, tra 3.1214 e 3.1826; con 64 lati, tra 3.1403 e 3.1441. Archimede cominciò con gli esagoni e raddoppiò quattro volte, fino a 12, 24, 48 e 96 lati. Non aveva i decimali né la trigonometria e calcolò a mano le radici quadrate come frazioni. La sua conclusione fu che π sta tra 3 10/71 e 3 1/7, che in decimali è 3.1408 < π < 3.1429. Con una calcolatrice i perimetri a 96 lati sono 3.14103 e 3.14271. Le sue due frazioni stanno appena fuori da essi, quindi entrambe le disuguaglianze restano vere.

Un metro di filo in più

Ecco una domanda in cui la formula batte l'intuizione. Avvolgi una corda stretta attorno a una palla, poi aggiungi esattamente 1 m alla sua lunghezza e sollevala in modo uniforme dalla superficie tutt'intorno. Quanto è grande lo spazio che si crea? La nuova circonferenza è C + 1, quindi il nuovo raggio è (C + 1) ÷ 2π. È il vecchio raggio più 1 ÷ 2π, circa 0.159 m. Lo spazio è circa 15.9 cm. La grandezza della palla non compare mai nel calcolo, quindi la risposta è la stessa per una pallina da tennis e per una palla grande come la Terra.