원주율과 원주
둥근 물건을 실로 한 바퀴 감으면 실의 길이는 언제나 지름의 3배보다 조금 깁니다. 아르키메데스는 그 「조금」을 3 10/71과 3 1/7 사이로 좁혔습니다.
둥근 물건 세 개를 재 봅니다
머그컵, 접시, 음료 캔을 하나씩 준비해 보세요. 종이띠를 둘레에 한 바퀴 감고 겹치는 곳에 표시한 뒤, 띠를 펴서 길이를 잽니다. 이 길이가 원의 둘레인 원주입니다. 그다음 가운데를 지나도록 지름을 잽니다. 예를 들어 머그컵은 지름 8 cm에 원주 25.1 cm, 접시는 지름 24 cm에 원주 75.4 cm가 나왔다고 합시다. (원주) ÷ (지름)을 계산하면 머그컵은 25.1 ÷ 8 = 3.1375, 접시는 75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417입니다. 접시가 머그컵보다 세 배나 넓은데도 두 몫은 소수 둘째 자리까지 같습니다.
이 몫은 크든 작든 모든 원에서 같고, 이 일정한 값을 원주율이라고 합니다. 기호로는 π(파이)라고 씁니다. 원주율은 3.141592…로 끝없이 이어지는 수라서 초등학교에서는 근삿값 3.14를 씁니다. 원주율이 일정하므로 (원주) = (지름) × (원주율)이고, 지름은 반지름의 2배이니 (원주) = (반지름) × 2 × (원주율)입니다. 식으로 쓰면 C = πd = 2πr입니다. 지름이 10 cm인 원의 원주는 10 × 3.14 = 31.4 cm입니다. 이제는 둘레에 실을 감지 않아도 지름만 재면 원주를 구할 수 있습니다. 직접 잰 값으로는 원주율을 정확히 얻을 수 없습니다. 종이는 늘어나고, 테두리에는 두께가 있고, 자의 눈금은 1 mm까지입니다. 측정으로는 앞의 두 자리 정도가 한계이고, 그보다 정확히 알려면 계산으로 따져야 합니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
두 다각형 사이에 원주율을 가둡니다
아르키메데스는 아무것도 재지 않고 원주율을 가두는 방법을 찾았습니다. 원 안에 꼭짓점 여섯 개가 모두 원 위에 오도록 정육각형을 그립니다. 정육각형은 원의 중심에서 만나는 정삼각형 여섯 개로 나뉘므로 한 변이 반지름과 같고, 둘레는 반지름의 6배이고 지름의 3배입니다. 원은 정육각형의 변마다 바깥으로 볼록하게 나와 있으니 원주는 지름의 3배보다 깁니다. 그러니 원주율은 3보다 큽니다. 이번에는 원 바깥에 네 점에서 원과 맞닿는 정사각형을 그립니다. 한 변이 지름과 같으니 둘레는 지름의 4배이고, 원은 그 안에 들어 있으므로 원주율은 4보다 작습니다.
변의 수를 두 배로 늘리면 두 경계가 함께 좁아집니다. 지름이 1인 원에서 변이 8개이면 3.0615와 3.3137 사이, 16개이면 3.1214와 3.1826 사이, 64개이면 3.1403과 3.1441 사이입니다. 아르키메데스는 정육각형에서 시작해 변의 수를 12, 24, 48, 96으로 네 번 두 배씩 늘렸습니다. 소수도 삼각비도 없던 시대라 제곱근을 분수로 손으로 계산했습니다. 그가 얻은 결론은 원주율이 3 10/71보다 크고 3 1/7보다 작다는 것이었습니다. 소수로 쓰면 3.1408 < π < 3.1429입니다. 계산기로 정96각형의 둘레를 구하면 3.14103과 3.14271이고, 아르키메데스의 두 분수는 이 값들보다 살짝 바깥에 있어 두 부등식이 모두 맞습니다.
| 변의 수 | 안쪽 정다각형의 둘레 | 바깥쪽 정다각형의 둘레 |
|---|---|---|
| 4 | 2.8284 | 4.0000 |
| 6 | 3.0000 | 3.4641 |
| 8 | 3.0615 | 3.3137 |
| 12 | 3.1058 | 3.2154 |
| 16 | 3.1214 | 3.1826 |
| 24 | 3.1326 | 3.1597 |
| 32 | 3.1365 | 3.1517 |
| 48 | 3.1394 | 3.1461 |
| 64 | 3.1403 | 3.1441 |
| 96 | 3.1410 | 3.1427 |
실을 1 m 늘리면 얼마나 뜰까
공식이 직관을 이기는 문제 하나를 풀어 봅시다. 공에 실을 팽팽하게 감은 뒤, 실을 딱 1 m 늘려서 공 표면에서 어디나 같은 높이로 띄웁니다. 실과 공 사이의 틈은 얼마일까요? 새 원주가 C + 1이므로 새 반지름은 (C + 1) ÷ 2π입니다. 이것은 원래 반지름에 1 ÷ 2π, 약 0.159 m를 더한 값입니다. 틈은 약 15.9 cm입니다. 계산 어디에도 공의 크기가 나오지 않으니, 테니스공이든 지구만 한 공이든 답은 같습니다.
(원주) = (지름) × (원주율) = (반지름) × 2 × (원주율). 원주율 ≈ 3.14. 아르키메데스: 3 10/71 < π < 3 1/7.
- 지름이 10 cm인 원의 원주는? (원주율 3.14)
- 반지름이 3 cm인 원의 원주는? (원주율 3.14)
- 원주가 47.1 cm인 원의 지름은? (원주율 3.14)
- 원주가 62.8 cm인 원의 반지름은? (원주율 3.14)
- 지름이 0.7 m인 바퀴가 미끄러지지 않고 100바퀴 굴렀습니다. 굴러간 거리는 몇 m일까요? (원주율 3.14)
- 원 위에 꼭짓점이 있는 정육각형의 둘레는?
- 지름의 3배
- 지름의 2배
- 지름의 4배
- 지름의 π배
- 옳은 것은?
- 3 10/71 < π < 3 1/7
- π는 정확히 22/7이다
- π는 정확히 3.14이다
- π < 3
- 원 안의 정다각형으로 원주율보다 작은 값을 얻는 까닭은?
- 변마다 호를 가로지르는 지름길이라서
- 원보다 변이 적어서
- 꼭짓점이 원 밖에 있어서
- 변이 반지름보다 길어서
- 공에 감은 실을 1 m 늘려 고르게 띄웠습니다. 틈은 약 몇 cm일까요? (소수 첫째 자리까지)
- 반지름이 100인 원의 (원주) ÷ (지름)은 반지름이 1인 원과 비교하면?
- 같다
- 100배 크다
- 100분의 1이다
- 10배 크다
- 지름이 5 cm인 원에 꼭 맞게 바깥에 정사각형을 그렸습니다. 정사각형의 둘레는?
- 「원주율은 22/7이다.」 22/7 = 3.142857…이고 원주율은 3.141592…입니다. 아르키메데스는 22/7을 원주율보다 큰 쪽의 경계로 구했습니다.
- 「원주 = 반지름 × 원주율」 원주율은 원주를 지름과 비교한 값입니다. 반지름을 쓰려면 2를 곱해야 합니다. 원주는 지름의 3배보다 커야 하는데 반지름 × 3.14는 지름의 약 1.57배밖에 안 됩니다.
- 「캔으로 재니 3.05가 나왔으니 작은 원은 원주율이 다르다.」 작은 물건일수록 측정 오차가 상대적으로 커집니다. 지름이 6 cm인 캔에서 1 mm만 틀려도 둘째 자리가 바뀝니다. 비 자체는 모든 원에서 같습니다.
- (원주) ÷ (지름)은 모든 원에서 같고, 이 값이 원주율 π = 3.14159…입니다.
- (원주) = (지름) × (원주율) = (반지름) × 2 × (원주율). 근삿값 3.14를 씁니다.
- 원 안의 정육각형으로 π > 3, 원 밖의 정사각형으로 π < 4를 알 수 있습니다.
- 아르키메데스는 정96각형으로 3 10/71 < π < 3 1/7을 얻었습니다.
이 과정의 출처 (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
확인한 날: 2026-10-19