Pi e o comprimento da circunferência
Dê uma volta de barbante num objeto circular: o comprimento será pouco mais de três diâmetros. Arquimedes situou esse “pouco mais” entre 3 10/71 e 3 1/7.
Meça três objetos redondos
Pegue uma caneca, um prato e uma lata de bebida. Enrole uma tira de papel uma vez na borda de cada um, marque onde sobrepõe, estique e meça. Esse é o comprimento da circunferência, a distância ao redor. Depois meça o diâmetro, passando pelo centro. Suponha a caneca com 8 cm de diâmetro e 25.1 cm de contorno; o prato, 24 cm e 75.4 cm. Divida o contorno pelo diâmetro. Na caneca, 25.1 ÷ 8 = 3.1375; no prato, 75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417. O prato é três vezes mais largo, mas os quocientes coincidem até duas casas decimais.
Esse quociente é igual para qualquer circunferência, pequena ou grande, e se chama pi, escrito π. A OpenStax dá π = 3.141592654…, a razão entre comprimento e diâmetro. Como ela não muda, seguem duas fórmulas: C = πd e, como d = 2r, também C = 2πr. Uma circunferência de diâmetro 10 cm mede 10π ≈ 31.4 cm. Suas medições nunca darão π exato: papel estica, bordas têm espessura e réguas só mostram milímetros. Medir dá os dois primeiros algarismos; para ir além, é preciso raciocinar.
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
Limitando π entre dois polígonos
Arquimedes de Siracusa encontrou como limitar π sem medir. Desenhe um hexágono regular inscrito, com seis vértices na circunferência. Ele se divide em seis triângulos equiláteros unidos no centro; cada lado é um raio e o perímetro é 6r = 3d. A circunferência se projeta para fora de cada lado, então seu comprimento supera 3d: π > 3. Agora desenhe um quadrado ao redor, tangente em quatro pontos. Seu lado é o diâmetro, seu perímetro é 4d e a circunferência cabe dentro: π < 4.
Dobrar os lados aproxima os limites. Para diâmetro 1, a OpenStax lista perímetros: com 8 lados, entre 3.0615 e 3.3137; com 16, entre 3.1214 e 3.1826; com 64, entre 3.1403 e 3.1441. Arquimedes começou com hexágonos e dobrou quatro vezes, para 12, 24, 48 e 96 lados. Sem decimais nem trigonometria, calculou raízes à mão como frações. Concluiu que π fica entre 3 10/71 e 3 1/7: em decimais, 3.1408 < π < 3.1429. Com calculadora, os perímetros de 96 lados são 3.14103 e 3.14271. Suas frações ficam logo além deles, então ambas as desigualdades continuam válidas.
| Lados | Perímetro interno | Perímetro externo |
|---|---|---|
| 4 | 2.8284 | 4.0000 |
| 6 | 3.0000 | 3.4641 |
| 8 | 3.0615 | 3.3137 |
| 12 | 3.1058 | 3.2154 |
| 16 | 3.1214 | 3.1826 |
| 24 | 3.1326 | 3.1597 |
| 32 | 3.1365 | 3.1517 |
| 48 | 3.1394 | 3.1461 |
| 64 | 3.1403 | 3.1441 |
| 96 | 3.1410 | 3.1427 |
Um metro a mais de barbante
Aqui a fórmula supera a intuição. Enrole um barbante justo numa bola, acrescente exatamente 1 m e afaste-o uniformemente da superfície em toda a volta. Qual é a folga? O novo comprimento é C + 1, então o novo raio é (C + 1) ÷ 2π: o raio antigo mais 1 ÷ 2π, cerca de 0.159 m. A folga é de cerca de 15.9 cm. O tamanho da bola não aparece na conta; a resposta é igual para uma bola de tênis e uma do tamanho da Terra.
C = πd = 2πr. π ≈ 3.14. Arquimedes: 3 10/71 < π < 3 1/7.
- Uma circunferência tem diâmetro 10 cm. Encontre seu comprimento (use 3.14 para π).
- Uma circunferência tem raio 3 cm. Encontre seu comprimento (use 3.14 para π).
- Uma circunferência mede 47.1 cm. Encontre o diâmetro (use 3.14 para π).
- Uma circunferência mede 62.8 cm. Encontre o raio (use 3.14 para π).
- Uma roda de diâmetro 0.7 m dá 100 voltas sem escorregar. Quantos metros percorre? (use 3.14 para π)
- Um hexágono regular tem vértices na circunferência. Seu perímetro equivale a:
- 3 diâmetros
- 2 diâmetros
- 4 diâmetros
- π diâmetros
- Qual afirmação é verdadeira?
- 3 10/71 < π < 3 1/7
- π = 22/7 exatamente
- π = 3.14 exatamente
- π < 3
- Por que o polígono inscrito dá um limite inferior de π?
- cada lado é um atalho por dentro de um arco
- tem menos lados que a circunferência
- seus vértices estão fora da circunferência
- seus lados são maiores que o raio
- Um barbante ao redor de uma bola ganha 1 m e é afastado uniformemente. Qual é a folga aproximada em centímetros? (uma casa decimal)
- Comprimento ÷ diâmetro para uma circunferência de raio 100 em comparação com uma de raio 1:
- igual
- 100 vezes maior
- 100 vezes menor
- 10 vezes maior
- Um quadrado circunscreve uma circunferência de diâmetro 5 cm. Qual é o perímetro do quadrado?
- “π é 22/7.” 22/7 = 3.142857…, enquanto π = 3.141592…. Arquimedes deu 22/7 como limite superior, não como o próprio π.
- “C = πr.” π compara o comprimento com o diâmetro, não com o raio: C = πd = 2πr. Confira: o comprimento precisa superar 3 diâmetros, e πr é só cerca de 1.57 diâmetros.
- “Minha lata deu 3.05, então π muda em circunferências pequenas.” Em objetos pequenos, erros de medição são proporcionalmente maiores. Errar um milímetro numa lata de 6 cm altera o segundo algarismo do quociente. A razão em si é igual para toda circunferência.
- Comprimento ÷ diâmetro é igual em toda circunferência: π = 3.14159…
- C = πd = 2πr. Use 3.14 ou a tecla π.
- Um hexágono inscrito dá π > 3; um quadrado circunscrito dá π < 4.
- Arquimedes, com polígonos de 96 lados: 3 10/71 < π < 3 1/7.
Fontes deste curso (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
Data de verificação: 2026-10-19