円周率と円周
丸い物に糸を一周巻くと、直径の三倍より少し長くなります。アルキメデスは、この「少し」を3 10/71と3 1/7の間に閉じ込めました。
丸い物三つを測る
マグカップ、皿、飲み物の缶を用意します。それぞれの縁に細長い紙を1周巻き、重なった位置に印を付けてから紙を平らに広げ、長さを測ります。この長さが円の周りの距離、つまり円周です。次に、上面の真ん中をまっすぐ横切る直径を測ります。マグカップの直径が8 cm、円周が25.1 cm、皿の直径が24 cm、円周が75.4 cmだったとします。周りの長さを直径で割ります。マグカップでは25.1 ÷ 8 = 3.1375、皿では75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417です。皿の幅はマグカップの3倍ですが、2つの商は小数第2位まで一致します。
この商は、小さな円でも大きな円でも同じです。これを円周率といい、πで表します。OpenStaxでは、円周と直径の比としてπ = 3.141592654…と示しています。この比は変わらないので、すぐに2つの公式が得られます。円周はC = πdであり、d = 2rなのでC = 2πrでもあります。直径10 cmの円の円周は10π ≈ 31.4 cmです。自分で測定しても、πを正確に求めることはできません。紙は伸び、縁には厚さがあり、定規ではミリメートルまでしか読み取れないからです。測定で得られるのは最初の2桁です。それより先を求めるには、論証が必要になります。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
二つの多角形でπを挟む
シラクサのアルキメデスは、何も測らずにπの範囲を絞る方法を見つけました。6つの頂点が円上にあるように、円の内側に正六角形を描きます。正六角形は中心に集まる6つの正三角形に分かれるため、各辺は半径と等しく、周の長さは6r = 3dです。円はすべての辺の外側に膨らんでいるので、円周は3dより長くなります。したがってπ > 3です。今度は円の外側に、4点で円に接する正方形を描きます。その1辺は直径に等しいので、周の長さは4dです。円はその内側に収まるため、π < 4となります。
辺の数を倍にすると、二つの限界はどちらも狭まります。直径1の円について、OpenStaxは次の周の長さを挙げています。8辺では3.0615と3.3137の間、16辺では3.1214と3.1826の間、64辺では3.1403と3.1441の間です。アルキメデスは六角形から始めて四回倍にし、12辺、24辺、48辺、96辺まで進みました。彼には小数も三角比もなく、平方根を分数にして手で計算しました。結論は、πは3 10/71と3 1/7の間にあるというもので、小数にすると3.1408 < π < 3.1429です。電卓で計算すると、96辺の周の長さは3.14103と3.14271です。彼の二つの分数はそのすぐ外側にあるので、二つの不等式はどちらも成り立ちます。
| 辺数 | 内側の周 | 外側の周 |
|---|---|---|
| 4 | 2.8284 | 4.0000 |
| 6 | 3.0000 | 3.4641 |
| 8 | 3.0615 | 3.3137 |
| 12 | 3.1058 | 3.2154 |
| 16 | 3.1214 | 3.1826 |
| 24 | 3.1326 | 3.1597 |
| 32 | 3.1365 | 3.1517 |
| 48 | 3.1394 | 3.1461 |
| 64 | 3.1403 | 3.1441 |
| 96 | 3.1410 | 3.1427 |
糸を一メートル延ばす
公式が直感より頼りになる問題を考えましょう。球に糸をぴったり巻き、その長さをちょうど1 m増やして、球の表面から全周にわたり均等に持ち上げます。隙間はどのくらいになるでしょうか。新しい円周はC + 1なので、新しい半径は(C + 1) ÷ 2πです。これは元の半径に1 ÷ 2π、約0.159 mを足した長さです。隙間は約15.9 cmになります。計算には球の大きさが一度も出てこないので、テニスボールでも地球ほど大きな球でも答えは同じです。
C = πd = 2πr。π ≈ 3.14。アルキメデス：3 10/71 < π < 3 1/7。
- 直径10 cmの円があります。円周を求めましょう（πは3.14を使います）。
- 半径3 cmの円があります。円周を求めましょう（πは3.14を使います）。
- 円周が47.1 cmの円があります。直径を求めましょう（πは3.14を使います）。
- 円周が62.8 cmの円があります。半径を求めましょう（πは3.14を使います）。
- 直径0.7 mの車輪が滑らず100回転します。何メートル進みますか？（π = 3.14）
- 正六角形の頂点がすべて円上にあります。その周の長さは何に等しいですか？
- 直径の3倍
- 直径の2倍
- 直径の4倍
- 直径のπ倍
- 正しいのは？
- 3 10/71 < π < 3 1/7
- π = 22/7ちょうど
- π = 3.14ちょうど
- π < 3
- 円に内接する多角形が、πの下限を与えるのはなぜですか？
- 各辺が弧の近道になるから
- 円より辺が少ないから
- 頂点が円外だから
- 辺が半径より長いから
- 球にぴったり巻いた糸をちょうど1 m長くして、全周で均等に持ち上げます。隙間はおよそ何cmですか？（小数第一位まで）
- 半径100の円と半径1の円で、円周÷直径を比べると：
- 同じ
- 100倍
- 100分の1
- 10倍
- 直径5 cmの円に正方形を外接させます。この正方形の周の長さは？
- 「πは22/7です」 22/7 = 3.142857…ですが、π = 3.141592…です。アルキメデスは22/7をπそのものとしてではなく、上限として示しました。
- 「C = πrです」 πが比べるのは円周と直径で、半径ではありません。C = πd = 2πrです。簡単な確かめ方があります。円周は直径の3倍より長いはずですが、πrは直径の約1.57倍にしかなりません。
- 「缶では3.05なので小さい円はπが違います」 小さい物では、測定の誤差が割合として大きくなります。6 cmの缶で一ミリずれると、商の二桁目が変わることがあります。比そのものは、どの円でも同じです。
- 円周÷直径はどの円もπ = 3.14159…です。
- C = πd = 2πrです。3.14かπキーを使います。
- 円に内接する正六角形からπ > 3が、円を囲む正方形からπ < 4が分かります。
- アルキメデスの96辺による結果：3 10/71 < π < 3 1/7。
このコースの出典 (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
確認日: 2026-10-19