Pi und Kreisumfang
Leg eine Schnur um etwas Rundes: Ihre Länge ist etwas mehr als drei Durchmesser. Archimedes grenzte dieses „etwas mehr“ durch 3 10/71 und 3 1/7 ein.
Drei runde Dinge messen
Such dir einen Becher, einen Teller und eine Getränkedose. Wickle bei jedem einen Papierstreifen einmal um den Rand, markiere die Stelle, an der er sich überlappt, lege den Streifen dann flach und miss ihn. Diese Länge ist der Umfang, die Strecke rund um den Kreis. Miss als Nächstes den Durchmesser, gerade über die Öffnung durch die Mitte. Angenommen, der Becher misst 8 cm im Durchmesser und 25.1 cm im Umfang, der Teller 24 cm im Durchmesser und 75.4 cm im Umfang. Teile die Strecke rundherum durch die Strecke quer. Beim Becher ist 25.1 ÷ 8 = 3.1375. Beim Teller ist 75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417. Der Teller ist dreimal so breit wie der Becher, und doch stimmen die beiden Quotienten auf zwei Dezimalstellen überein.
Dieser Quotient ist für jeden Kreis derselbe, ob klein oder groß, und er hat einen Namen: Pi, geschrieben π. OpenStax gibt es als π = 3.141592654… an, das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser. Weil sich das Verhältnis nie ändert, folgen sofort zwei Formeln. Der Umfang ist C = πd, und wegen d = 2r auch C = 2πr. Ein Kreis mit 10 cm Durchmesser hat den Umfang 10π ≈ 31.4 cm. Deine eigenen Messungen werden nie genau π ergeben. Papier dehnt sich, Ränder haben eine Dicke, und ein Lineal zeigt nur Millimeter. Mit Messen bekommst du die ersten zwei Ziffern. Für mehr brauchst du eine Begründung.
Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.
π zwischen zwei Vielecken eingrenzen
Archimedes von Syrakus fand einen Weg, π einzugrenzen, ohne irgendetwas zu messen. Zeichne ein regelmäßiges Sechseck in einen Kreis, sodass seine sechs Ecken auf dem Kreis liegen. Das Sechseck zerfällt in sechs gleichseitige Dreiecke, die sich im Mittelpunkt treffen, also ist jede Seite gleich dem Radius, und der Umfang ist 6r = 3d. Der Kreis wölbt sich über jede Seite hinaus, deshalb ist der Kreisumfang länger als 3d: π > 3. Zeichne nun ein Quadrat um den Kreis, das ihn in vier Punkten berührt. Seine Seite ist gleich dem Durchmesser, sein Umfang ist also 4d, und der Kreis passt hinein: π < 4.
Doppelt so viele Seiten verengen die Schranken. OpenStax nennt bei Durchmesser 1: mit 8 Seiten zwischen 3.0615 und 3.3137, mit 16 zwischen 3.1214 und 3.1826, mit 64 zwischen 3.1403 und 3.1441. Archimedes begann mit Sechsecken und verdoppelte viermal auf 12, 24, 48 und 96 Seiten. Ohne Dezimalzahlen und Trigonometrie berechnete er Wurzeln von Hand als Brüche. Ergebnis: zwischen 3 10/71 und 3 1/7, dezimal 3.1408 < π < 3.1429. Der Taschenrechner liefert bei 96 Seiten 3.14103 und 3.14271. Seine Brüche liegen knapp außerhalb, sodass beide Ungleichungen stimmen.
| Seiten | Innerer Umfang | Äußerer Umfang |
|---|---|---|
| 4 | 2.8284 | 4.0000 |
| 6 | 3.0000 | 3.4641 |
| 8 | 3.0615 | 3.3137 |
| 12 | 3.1058 | 3.2154 |
| 16 | 3.1214 | 3.1826 |
| 24 | 3.1326 | 3.1597 |
| 32 | 3.1365 | 3.1517 |
| 48 | 3.1394 | 3.1461 |
| 64 | 3.1403 | 3.1441 |
| 96 | 3.1410 | 3.1427 |
Ein Meter mehr Schnur
Hier ist eine Frage, bei der die Formel die Intuition schlägt. Lege eine Schnur eng um einen Ball, verlängere sie dann um genau 1 m und hebe sie ringsum gleichmäßig von der Oberfläche ab. Wie groß ist der Abstand? Der neue Umfang ist C + 1, also ist der neue Radius (C + 1) ÷ 2π. Das ist der alte Radius plus 1 ÷ 2π, etwa 0.159 m. Der Abstand beträgt also etwa 15.9 cm. Die Größe des Balls kommt in der Rechnung nie vor, daher ist die Antwort für einen Tennisball dieselbe wie für einen Ball so groß wie die Erde.
C = πd = 2πr. π ≈ 3.14. Archimedes: 3 10/71 < π < 3 1/7.
- Ein Kreis hat Durchmesser 10 cm. Finde den Umfang (π = 3.14).
- Ein Kreis hat den Radius 3 cm. Finde seinen Umfang (verwende 3.14 für π).
- Ein Kreis hat Umfang 47.1 cm. Finde den Durchmesser (π = 3.14).
- Ein Kreis hat den Umfang 62.8 cm. Finde seinen Radius (verwende 3.14 für π).
- Ein Rad mit Durchmesser 0.7 m dreht sich 100-mal ohne Rutschen. Wie viele Meter rollt es? (π = 3.14)
- Ein regelmäßiges Sechseck hat alle Ecken auf dem Kreis. Sein Umfang entspricht:
- 3 Durchmessern
- 2 Durchmessern
- 4 Durchmessern
- π Durchmessern
- Welche Aussage stimmt?
- 3 10/71 < π < 3 1/7
- π = 22/7 genau
- π = 3.14 genau
- π < 3
- Warum liefert das innere Vieleck eine untere Schranke für π?
- jede Seite kürzt einen Bogen ab
- es hat weniger Seiten als der Kreis
- seine Ecken liegen außerhalb
- seine Seiten sind länger als der Radius
- Eine Schnur um einen Ball wird um 1 m verlängert und gleichmäßig angehoben. Wie groß ist der Abstand etwa in Zentimetern? (eine Dezimalstelle)
- Umfang ÷ Durchmesser bei einem Kreis mit dem Radius 100 im Vergleich zu einem Kreis mit dem Radius 1:
- gleich
- 100-mal größer
- 100-mal kleiner
- 10-mal größer
- Ein Quadrat umgibt einen Kreis mit Durchmesser 5 cm. Wie groß ist sein Umfang?
- „π ist 22/7.“ 22/7 = 3.142857…, aber π = 3.141592…. Archimedes gab 22/7 als obere Schranke an, nicht als π selbst.
- „C = πr.“ π vergleicht Umfang und Durchmesser, nicht Radius: C = πd = 2πr. Zur Probe: Der Umfang muss mehr als 3 Durchmesser sein; πr ist nur etwa 1.57 Durchmesser.
- „Bei meiner Dose kam 3.05 heraus, also ist π für kleine Kreise anders.“ Bei kleinen Dingen fallen Messfehler stärker ins Gewicht. Ein Millimeter Fehler an einer Dose von 6 cm ändert schon die zweite Ziffer. Das Verhältnis selbst ist bei allen Kreisen gleich.
- Umfang ÷ Durchmesser ist für jeden Kreis gleich: π = 3.14159…
- C = πd = 2πr. Nutze 3.14 oder die π-Taste.
- Ein einbeschriebenes Sechseck ergibt π > 3, und ein Quadrat um den Kreis ergibt π < 4.
- Archimedes mit Vielecken von 96 Seiten: 3 10/71 < π < 3 1/7.
Quellen zu diesem Kurs (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
Abgerufen: 2026-10-19