Pi et la circonférence

Enroule une ficelle autour d'un objet rond : elle mesure un peu plus de trois diamètres. Archimède a placé ce « un peu plus » entre 3 10/71 et 3 1/7.

Mesure trois objets ronds

Trouve une tasse, une assiette et une canette. Enroule une bande de papier autour du bord, marque le chevauchement, mets-la à plat et mesure-la. Cette longueur est la circonférence, la distance autour du cercle. Mesure ensuite le diamètre en passant par le milieu. Supposons la tasse de diamètre 8 cm et de tour 25.1 cm, l'assiette de diamètre 24 cm et de tour 75.4 cm. Divise le tour par le diamètre : 25.1 ÷ 8 = 3.1375 pour la tasse ; 75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417 pour l'assiette. L'assiette est trois fois plus large, mais les quotients coïncident à deux décimales.

Ce quotient est identique pour tout cercle, petit ou grand : pi, noté π. OpenStax donne π = 3.141592654…, rapport de la circonférence au diamètre. Puisqu'il ne change pas, deux formules suivent : C = πd et, comme d = 2r, C = 2πr. Un cercle de diamètre 10 cm a une circonférence de 10π ≈ 31.4 cm. Tes mesures ne donneront jamais π exactement : le papier s'étire, les bords sont épais et la règle n'indique que les millimètres. Mesurer donne les deux premiers chiffres ; pour davantage, il faut raisonner.

Chargement du modèle 3D

Fais glisser pour tourner. Fais défiler ou écarte et rapproche deux doigts pour zoomer.

Un cylindre de rayon 2 cm. Appuie sur Déplier : la surface latérale devient un rectangle. Son grand côté entourait le couvercle : il mesure sa circonférence, 2πr ≈ 12.57 cm pour r = 2. Change r et lis la ligne du patron dans le panneau : la longueur du rectangle vaut toujours environ 3.14 fois la largeur du couvercle.

Encadrer π par deux polygones

Archimède de Syracuse a trouvé comment encadrer π sans mesurer. Trace un hexagone régulier inscrit, ses six sommets sur le cercle. Il se divise en six triangles équilatéraux réunis au centre : chaque côté vaut le rayon et le périmètre vaut 6r = 3d. Le cercle dépasse chaque côté, donc sa circonférence dépasse 3d : π > 3. Trace ensuite un carré autour, tangent en quatre points. Son côté vaut le diamètre, son périmètre 4d ; le cercle tenant dedans, π < 4.

Bleu : polygones réguliers à l'intérieur du cercle. Orange : polygones réguliers autour du cercle. Pour un cercle de diamètre 1, le périmètre intérieur est une borne inférieure de π et le périmètre extérieur une borne supérieure. Douze côtés suffisent déjà à encadrer π entre 3.106 et 3.215.

Doubler les côtés resserre les deux bornes. Pour un diamètre 1, OpenStax donne les périmètres : avec 8 côtés, entre 3.0615 et 3.3137 ; avec 16, entre 3.1214 et 3.1826 ; avec 64, entre 3.1403 et 3.1441. Archimède part d'hexagones et double quatre fois : 12, 24, 48 et 96 côtés. Sans décimales ni trigonométrie, il calcule les racines à la main sous forme de fractions. Conclusion : 3 10/71 < π < 3 1/7, soit 3.1408 < π < 3.1429. À la calculatrice, les périmètres à 96 côtés valent 3.14103 et 3.14271. Ses fractions se trouvent juste au-delà : les inégalités restent vraies.

Côtés	Périmètre intérieur	Périmètre extérieur
4	2.8284	4.0000
6	3.0000	3.4641
8	3.0615	3.3137
12	3.1058	3.2154
16	3.1214	3.1826
24	3.1326	3.1597
32	3.1365	3.1517
48	3.1394	3.1461
64	3.1403	3.1441
96	3.1410	3.1427

ContexteLe symbole est arrivé bien après le nombre. Selon l'histoire de pi de MacTutor, le Gallois William Jones utilise le premier π au sens actuel en 1706, en écrivant « 3.14159 etc. = π ». Euler l'adopte en 1737 ; l'usage se généralise vite. Les calculs sont bien plus anciens. En Chine, Zu Chongzhi (430 à 501) donne 355/113, soit 3.1415929, correct à six décimales. Selon MacTutor, il est très improbable qu'il ait connu les travaux d'Archimède.

Un mètre de ficelle en plus

Voici où la formule dépasse l'intuition. Enroule une ficelle serrée autour d'une balle, ajoute exactement 1 m et éloigne-la uniformément de la surface. Quel écart obtient-on ? La nouvelle circonférence est C + 1 ; le rayon est (C + 1) ÷ 2π, soit l'ancien rayon plus 1 ÷ 2π, environ 0.159 m. L'écart fait environ 15.9 cm. La taille n'apparaît pas dans le calcul : même réponse pour une balle de tennis et une boule aussi grande que la Terre.

Utiliser 3.14 ou la touche π donne des résultats légèrement différents, car la touche garde plus de chiffres. Prealgebra d'OpenStax le précise aussi. Les exercices acceptent les deux réponses.

C = πd = 2πr. π ≈ 3.14. Archimède : 3 10/71 < π < 3 1/7.

Un cercle a un diamètre de 10 cm. Trouve sa circonférence (prends 3.14 pour π).
Un cercle a un rayon de 3 cm. Trouve sa circonférence (prends 3.14 pour π).
Un cercle a une circonférence de 47.1 cm. Trouve son diamètre (prends 3.14 pour π).
Un cercle a une circonférence de 62.8 cm. Trouve son rayon (prends 3.14 pour π).
Une roue de diamètre 0.7 m fait 100 tours sans glisser. Quelle distance parcourt-elle en mètres ? (prends 3.14 pour π)
Un hexagone régulier a ses sommets sur un cercle. Son périmètre vaut :
- 3 diamètres
- 2 diamètres
- 4 diamètres
- π diamètres
Quelle affirmation est vraie ?
- 3 10/71 < π < 3 1/7
- π = 22/7 exactement
- π = 3.14 exactement
- π < 3
Pourquoi le polygone inscrit donne-t-il une borne inférieure de π ?
- chaque côté raccourcit le trajet d'un arc
- il a moins de côtés que le cercle
- ses sommets sont hors du cercle
- ses côtés sont plus longs que le rayon
Une ficelle autour d'une balle est allongée de 1 m puis éloignée uniformément. Quel écart obtient-on environ en centimètres ? (une décimale)
Circonférence ÷ diamètre, pour un rayon de 100 comparé à un rayon de 1 :
- identique
- 100 fois plus grand
- 100 fois plus petit
- 10 fois plus grand
Un carré est circonscrit à un cercle de diamètre 5 cm. Quel est son périmètre ?

Erreurs fréquentes

« π vaut 22/7. » 22/7 = 3.142857…, alors que π = 3.141592…. Archimède donnait 22/7 comme borne supérieure, pas comme π lui-même.
« C = πr. » π compare la circonférence au diamètre, pas au rayon : C = πd = 2πr. Vérifie vite : elle doit dépasser 3 diamètres, tandis que πr n'en vaut qu'environ 1.57.
« Ma canette donne 3.05, donc π change pour les petits cercles. » Sur les petits objets, les erreurs de mesure sont proportionnellement plus grandes. Un millimètre d'erreur sur une canette de 6 cm modifie le deuxième chiffre du quotient. Le rapport reste identique pour tout cercle.

Note du professeurLe programme national coréen de 2022 place cela en 5e et 6e années du primaire. Un objectif demande de mesurer circonférences et diamètres d'objets ronds, de reconnaître que pi est constant et d'utiliser une approximation ; les notes donnent 3.14. Le suivant fait calculer la circonférence sans mesurer. La difficulté vient du tableau des quotients : certains donnent 3.05 ou 3.2, et les élèves pensent que pi varie. Affiche les résultats, classe-les par taille d'objet et demande quelles mesures sont les moins fiables. La dispersion vient de l'erreur et diminue pour les grands objets.

L'essentiel

Circonférence ÷ diamètre est identique pour tout cercle : π = 3.14159…
C = πd = 2πr. Utilise 3.14 ou la touche π.
Un hexagone inscrit donne π > 3 ; un carré circonscrit donne π < 4.
Archimède, avec des polygones de 96 côtés : 3 10/71 < π < 3 1/7.

Sources de ce cours (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Consulté le: 2026-10-19