Éléments du cercle : rayon, diamètre, corde, arc, secteur et tangente

Trace deux cordes sur une assiette ronde. Les droites perpendiculaires qui partagent chaque corde en deux se coupent en un seul point : le centre.

Où est le centre d'une assiette ronde ?

Imagine que tu découpes un disque de papier dans un magazine et que tu veuilles le percer d'une épingle exactement en son milieu. Un cercle n'a pas de coins à partir desquels mesurer, donc une règle seule n'aide guère. Le pliage, si. Plie le papier exactement en deux, de sorte que les deux moitiés se recouvrent : le pli passe tout droit par le centre. Déplie-le, plie-le en deux d'une autre manière, et le second pli croise le premier au centre. Les Éléments d'Euclide font le même travail avec des droites au lieu de pliages. C'est la toute première proposition du livre III, le livre consacré aux cercles : trouver le centre d'un cercle donné.

Une même distance à un point

Un cercle est l'ensemble des points d'un plan à la même distance d'un point fixe. Ce point est le centre, généralement O. Un segment du centre à un point du cercle est un rayon, de longueur r. Puisque tous les points sont à la même distance, tous les rayons sont égaux et il en existe une infinité, un par point. Un segment qui joint deux points du cercle en passant par le centre est un diamètre, d. Il correspond à deux rayons bout à bout : d = 2r et r = d ÷ 2. Un cercle de rayon 7 cm a un diamètre de 14 cm. Le compas dessine cette définition : la pointe reste au centre, le crayon à un rayon de distance.

Cordes, arcs, secteurs et segments circulaires

Une corde est un segment dont les deux extrémités sont sur le cercle. Le diamètre est aussi une corde, celle qui passe par le centre. C'est la plus longue : Euclide le démontre dans la proposition 15 du livre III. Deux points divisent aussi le cercle en deux parties, des arcs. Le plus court est l'arc mineur, le plus long l'arc majeur. Si les points sont les extrémités d'un diamètre, les deux arcs sont des demi-cercles. On note l'arc de A à B par AB surmonté d'une petite marque courbe.

Ces éléments délimitent deux régions. Un secteur circulaire est compris entre deux rayons et leur arc, comme une part de pizza. L'angle entre les rayons est son angle au centre. Un segment circulaire est la région entre une corde et son arc. Coupe un pain rond d'un seul trait droit : la partie détachée est un segment circulaire. Si la coupe est un diamètre, c'est un demi-disque, aussi un secteur d'angle au centre 180°.

Des droites qui rencontrent le cercle en un ou deux points

Une droite peut rencontrer un cercle en deux points, un seul ou aucun. Avec deux points, elle est sécante ; sa partie intérieure est une corde. Avec exactement un point, elle est tangente ; ce point est le point de tangence. Pour Euclide, elle touche le cercle si elle le rencontre sans le traverser lorsqu'on la prolonge dans les deux sens. Une roue de vélo sur une route plate l'illustre : la route touche le pneu en un point sans entrer dedans. Dans l'unité 6, tu démontreras que le rayon jusqu'à ce point est toujours perpendiculaire à la tangente.

Trouver le centre avec deux cordes

Reprenons le disque sans le plier. Trace une corde AB et marque son milieu M. Par M, trace la perpendiculaire à AB : sa médiatrice. Tout point de cette droite est à égale distance de A et B. Le centre aussi, car OA et OB sont des rayons : il appartient donc à cette droite. Recommence avec une corde CD non parallèle à AB. Le centre appartient aux deux médiatrices ; deux droites non parallèles ne se coupent qu'une fois. Leur intersection est le centre. Euclide donne ce résultat en corollaire de la proposition 1 du livre III : si une droite partage une corde en deux perpendiculairement, le centre appartient à cette droite.