Elementi del cerchio: raggio, diametro, corda, arco, settore e tangente

Disegna due corde qualsiasi su un piatto rotondo. Le rette che dividono ciascuna corda a metà ad angolo retto si incrociano in un punto solo, e quel punto è il centro.

Dov'è il centro di un piatto rotondo?

Immagina di ritagliare da una rivista un cerchio di carta e di voler infilare uno spillo esattamente nel suo centro. Un cerchio non ha vertici da cui misurare, quindi il solo righello aiuta poco. Piegare invece aiuta. Piega la carta esattamente a metà, in modo che le due metà si sovrappongano, e la piega passa dritta per il centro. Aprila, piegala a metà in un altro modo, e la seconda piega incrocia la prima nel centro. Negli Elementi Euclide fa lo stesso lavoro con rette al posto delle pieghe. È la primissima proposizione del libro III, il libro dedicato ai cerchi: trovare il centro di un cerchio dato.

Una distanza da un punto

Una circonferenza è l'insieme di tutti i punti di un piano che si trovano alla stessa distanza da un punto fisso. Quel punto fisso è il centro, solitamente chiamato O. Un segmento che va dal centro a un punto qualsiasi della circonferenza è un raggio, e la sua lunghezza si indica con r. Poiché ogni punto della circonferenza si trova alla stessa distanza, tutti i raggi di una circonferenza sono uguali e ce ne sono infiniti: uno per ogni punto. Un segmento che unisce due punti della circonferenza e passa per il centro è un diametro, d. È formato da due raggi disposti uno di seguito all'altro, quindi d = 2r e r = d ÷ 2. Una circonferenza con raggio 7 cm ha diametro 14 cm. Il compasso traccia esattamente questa definizione. La sua punta resta nel centro mentre la matita rimane a un raggio di distanza.

Corde, archi, settori e segmenti circolari

Una corda è un segmento qualsiasi i cui due estremi si trovano sulla circonferenza. Anche il diametro è una corda: quella che passa per il centro. È anche la corda più lunga; Euclide dimostra nel libro III, proposizione 15, che il diametro è la più grande linea retta contenuta in un cerchio. Due punti su una circonferenza dividono anche la curva stessa in due parti. Ogni parte è un arco. Quello più corto è l'arco minore e quello più lungo è l'arco maggiore. Quando i due punti sono gli estremi di un diametro, entrambi gli archi sono semicirconferenze. Un arco da A a B si indica con AB e un piccolo segno curvo sopra le lettere.

Da questi elementi si ottengono due tipi di regione. Un settore circolare è la regione staccata da due raggi e dall'arco compreso tra di essi, la forma di una fetta di pizza. L'angolo tra i due raggi è l'angolo al centro del settore. Un segmento circolare è la regione compresa tra una corda e il suo arco. Taglia un pane rotondo con un solo taglio dritto: il pezzo che si stacca è un segmento circolare. Se il taglio è un diametro, il segmento è un semicerchio, e un semicerchio è anche un settore con un angolo al centro di 180°.

Rette con uno o due punti in comune

Una retta può incontrare una circonferenza in due punti, in un punto o in nessuno. Una retta che passa per due punti della circonferenza è una secante, e la parte di essa che sta dentro la circonferenza è una corda. Una retta che incontra la circonferenza in un solo punto è una tangente, e il punto d'incontro è il punto di tangenza. La definizione di Euclide dice che una retta tocca un cerchio quando lo incontra e, prolungata da una parte e dall'altra, non lo taglia. Una ruota di bicicletta appoggiata su una strada piana mostra bene l'idea: la strada incontra lo pneumatico in un punto e non entra mai al suo interno. L'unità 6 dimostra che il raggio tracciato verso quel punto è sempre perpendicolare alla tangente.

Trovare il centro con due corde

Torniamo al cerchio di carta, questa volta senza piegarlo. Disegna una corda qualsiasi AB e segna il suo punto medio M. Per M traccia la retta perpendicolare ad AB, l'asse della corda. Ogni punto di quella retta ha la stessa distanza da A e da B. Il centro è un punto di questo tipo, perché OA e OB sono entrambi raggi, quindi il centro sta da qualche parte su questa retta. Ripeti ora con una seconda corda CD che non sia parallela alla prima. Il centro sta su entrambe le rette, e due rette non parallele si incrociano una volta sola. Il loro punto d'incrocio è il centro. Euclide enuncia il fatto chiave come corollario della proposizione 1 del libro III: se una retta divide una corda in due parti uguali ad angolo retto, il centro del cerchio sta su quella retta.