원의 구성 요소: 반지름, 지름, 현, 호, 부채꼴, 접선

둥근 접시 위에 현을 아무렇게나 두 개 긋고, 각 현을 수직으로 이등분하는 직선을 그어 보세요. 두 직선은 딱 한 점에서 만나고, 그 점이 원의 중심입니다.

둥근 접시의 한가운데는 어디일까

잡지에서 오려 낸 종이 원의 한가운데에 압정을 꽂으려 한다고 해 봅시다. 원에는 기준으로 삼을 꼭짓점이 없어서 자만 들고는 막막합니다. 이럴 때는 접으면 됩니다. 두 반쪽이 꼭 겹치도록 반으로 접으면 접힌 선이 원의 중심을 지납니다. 펼쳐서 다른 방향으로 한 번 더 반으로 접으면 두 번째 접힌 선이 첫 번째 선과 만나는데, 그 점이 원의 중심입니다. 유클리드의 『원론』은 같은 일을 접기 대신 직선으로 합니다. 원을 다루는 제3권의 첫 명제가 바로 「주어진 원의 중심 찾기」입니다.

한 점에서 거리가 같은 점들

원은 평면 위에서 한 점으로부터 거리가 같은 점들을 모두 모은 도형입니다. 그 한 점을 원의 중심이라 하고 흔히 O로 씁니다. 원의 중심과 원 위의 한 점을 이은 선분이 반지름이고, 길이는 r로 나타냅니다. 원 위의 점은 모두 중심에서 같은 거리에 있으므로 한 원에서 반지름은 길이가 모두 같습니다. 원 위의 점마다 하나씩 그을 수 있으니 반지름은 셀 수 없이 많습니다. 원 위의 두 점을 잇는 선분 가운데 원의 중심을 지나는 것이 지름입니다. 지름은 반지름 두 개를 이어 붙인 길이라서 (지름) = (반지름) × 2입니다. 반지름이 7 cm인 원의 지름은 14 cm입니다. 컴퍼스는 이 정의를 그대로 그리는 도구입니다. 바늘은 중심에 꽂혀 있고, 연필 끝은 언제나 반지름만큼 떨어져 돌아갑니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

이 원은 중심이 원점이고 반지름이 1입니다. 원 위의 점을 아무 곳으로나 끌어 보세요. 점의 좌표는 계속 바뀌지만 아래 칸 마지막 줄의 cos² + sin²(이 점에서는 x² + y²)은 언제나 1입니다. 중심에서 거리가 1이라는 조건을 식으로 쓰면 이렇게 됩니다.

현, 호, 부채꼴, 활꼴

원 위의 두 점을 이은 선분을 현이라고 합니다. 지름도 현입니다. 현 가운데 원의 중심을 지나는 것이 지름이고, 원 안에 그을 수 있는 선분 가운데 가장 깁니다. 유클리드는 제3권 명제 15에서 이것을 증명했습니다. 원 위의 두 점은 원 자체도 두 조각으로 나눕니다. 원 위의 두 점 A, B를 양 끝으로 하는 원의 일부분을 호 AB라 하고, AB 위에 둥근 표시를 얹어 씁니다. 따로 말이 없으면 호 AB는 짧은 쪽 호를 가리킵니다. 두 점이 지름의 양 끝이면 두 호는 모두 반원이 됩니다.

이 조각들로 영역 두 가지가 생깁니다. 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형이 부채꼴입니다. 피자 한 조각 모양입니다. 부채꼴에서 두 반지름이 이루는 각을 중심각이라고 합니다. 현과 호로 둘러싸인 도형은 활꼴입니다. 둥근 빵을 칼로 한 번 곧게 자르면 떨어져 나가는 작은 쪽이 활꼴입니다. 지름을 따라 자르면 활꼴은 반원이 되고, 반원은 중심각이 180°인 부채꼴이기도 합니다.

원과 한 점이나 두 점에서 만나는 직선

직선과 원은 두 점에서 만나거나, 한 점에서 만나거나, 만나지 않습니다. 원과 두 점에서 만나는 직선을 할선이라 하고, 할선 가운데 원 안에 들어 있는 부분이 현입니다. 직선이 원과 한 점에서만 만날 때 직선이 원에 접한다고 하며, 이 직선을 접선, 만나는 점을 접점이라고 합니다. 평평한 도로에 서 있는 자전거 바퀴를 떠올리면 됩니다. 도로는 바퀴와 한 점에서 만날 뿐 바퀴 안으로 들어가지 않습니다. 접점까지 그은 반지름이 접선과 언제나 수직으로 만난다는 사실은 6단원에서 증명합니다.

왼쪽: 원의 중심 O, 파란 반지름 r, 지름 AB(d = 2r), 초록 현 CD. 오른쪽: 주황 부채꼴, 파란 호, 현과 호로 둘러싸인 초록 활꼴, 그리고 점 T에서 원에 접하는 보라색 접선입니다. 접선은 점선으로 그린 반지름과 수직입니다.

현 두 개로 원의 중심 찾기

이번에는 종이를 접지 않고 중심을 찾아봅시다. 아무 현 AB를 긋고 그 중점 M을 표시합니다. M을 지나면서 AB에 수직인 직선을 긋습니다. 이 직선이 현의 수직이등분선입니다. 이 직선 위의 점은 모두 A와 B에서 같은 거리에 있습니다. OA와 OB는 둘 다 반지름이므로 원의 중심도 그런 점이고, 따라서 중심은 이 직선 위 어딘가에 있습니다. 첫 번째 현과 평행하지 않은 두 번째 현 CD로 같은 일을 한 번 더 합니다. 중심은 두 직선 위에 모두 있어야 하고, 평행하지 않은 두 직선은 한 번만 만나므로 그 교점이 원의 중심입니다. 유클리드는 제3권 명제 1의 따름정리로 이렇게 적었습니다. 원에서 어떤 직선이 현을 수직으로 이등분하면, 원의 중심은 그 직선 위에 있다.

현 AB와 CD에 각각 수직이등분선을 점선으로 그었습니다. 같은 눈금은 길이가 같은 두 반쪽을 나타냅니다. 두 수직이등분선은 원의 중심 O에서 만납니다.

같은 직각으로 현의 길이도 구할 수 있습니다. 반지름이 5 cm인 원에서 현의 중점 M이 중심에서 3 cm 떨어져 있다고 합시다. 삼각형 OMA는 M에서 직각이고 OA = 5, OM = 3이므로 피타고라스 정리에 따라 AM = 4입니다. 현 전체의 길이는 8 cm입니다. 현이 중심에서 멀어질수록 짧아지고, 거리가 0이면 지름이 됩니다.

배경유클리드의 정의는 『원론』 제1권 정의 15에 있습니다. D. E. 조이스 판의 번역을 옮기면 「원은 한 선으로 둘러싸인 평면도형으로, 도형 안의 한 점에서 그 선까지 그은 직선이 모두 같은 것」입니다. 조이스의 해설은 오늘날과 다른 점 두 가지를 짚습니다. 유클리드에게 원은 둘러싸인 평평한 영역이고, 둘레의 곡선은 따로 원주라고 불렀습니다. 요즘 책에서 원이라고 하면 보통 둘레의 곡선을 뜻합니다. 또 영어 centre는 「찌르는 막대, 부지깽이」라는 뜻도 있는 그리스어 낱말에서 왔는데, 컴퍼스에서 뾰족하게 고정된 다리를 가리키던 말입니다. 유클리드에게는 반지름을 뜻하는 낱말이 따로 없었습니다. 『원론』에는 「중심에서 그은 선」이라고 적혀 있고, radius는 번역자가 쓴 짧은 말입니다.

원의 중심	원 위의 모든 점에서 거리가 같은 한 점
반지름 r	원의 중심과 원 위의 한 점을 이은 선분
지름 d	원의 중심을 지나는 현. 반지름의 2배이고 가장 긴 현
현	원 위의 두 점을 이은 선분
호	원 위의 두 점 사이에 있는 원의 일부분
부채꼴	두 반지름과 호로 둘러싸인 도형
활꼴	현과 호로 둘러싸인 도형
접선	원과 한 점에서만 만나는 직선. 그 점이 접점
할선	원과 두 점에서 만나는 직선

반지름이 7 cm인 원의 지름은?
지름이 18 cm인 원의 반지름은?
원에서 가장 긴 현은?
- 지름
- 반지름
- 원의 가장자리 가까이 있는 현
- 현의 길이는 모두 같다
한 원에 반지름은 몇 개 있을까요?
- 셀 수 없이 많다
- 2개
- 4개
- 360개
현과 호로 둘러싸인 도형은?
- 활꼴
- 부채꼴
- 반원만 해당
- 할선
원과 한 점에서만 만나는 직선은?
- 접선
- 할선
- 현
- 지름
반지름이 5 cm인 원에서 현의 중점이 원의 중심에서 3 cm 떨어져 있습니다. 현의 길이는?
반지름이 13 cm인 원에서 원의 중심과 현 사이의 거리가 5 cm입니다. 현의 길이는?
반지름이 10 cm인 원에 길이가 16 cm인 현이 있습니다. 원의 중심에서 현까지의 거리는?
지름은 모두 현일까요?
- 그렇다. 원의 중심을 지나는 현이다
- 아니다. 현은 원의 중심을 지나지 않는다
- 큰 원에서만 그렇다
- 가로로 그었을 때만 그렇다
현의 수직이등분선은 언제나 어디를 지날까요?
- 원의 중심
- 현의 한 끝
- 접선의 접점
- 특별한 점을 지나지 않는다

자주 하는 실수

「지름과 현은 서로 다른 것이다.」 지름은 원의 중심을 지나는 특별한 현입니다. 현이면서 가장 긴 현입니다.
「호 AB와 현 AB는 둘 다 A에서 B까지니까 길이가 같다.」 현은 곧은 길, 호는 휘어진 길입니다. 두 점 사이에서는 선분이 가장 짧으므로 호가 언제나 더 깁니다.
「부채꼴과 활꼴은 같은 도형을 부르는 두 이름이다.」 부채꼴은 중심에 꼭짓점이 있고 곧은 변이 두 개이며, 활꼴은 곧은 변이 현 하나뿐입니다. 둘 다에 해당하는 것은 반원뿐입니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 원의 중심, 반지름, 지름은 초등학교 3~4학년군 [4수03-06]에 나오고, [4수03-07]에서 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원을 그립니다. 해설에는 컴퍼스로 원을 그리는 방법을 원의 성질과 연결해 이해하게 하라고 되어 있습니다. 현, 호, 부채꼴, 활꼴, 할선, 접선, 접점은 중학교 1~3학년군 용어 목록에 있습니다. 가장 많이 헷갈리는 짝은 호와 현입니다. 둘 다 A에서 B까지 가기 때문입니다. 실을 호에 따라 대어 보고 자로 현을 재서 두 길이를 비교하게 하면 차이가 손에 잡힙니다.

핵심 정리

원은 중심 O에서 거리가 r인 점을 모두 모은 도형입니다. 반지름은 모두 길이가 r이고, 지름은 2r입니다.
현은 원 위의 두 점을 이은 선분이고, 지름은 가장 긴 현입니다.
호는 원의 일부분, 부채꼴은 두 반지름과 호, 활꼴은 현과 호로 둘러싸인 도형입니다.
할선은 원과 두 점에서, 접선은 한 점에서 만납니다. 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지납니다.

이 과정의 출처 (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

확인한 날: 2026-10-19