円の各部：半径、直径、弦、弧、扇形、接線
丸い皿に好きな二本の弦を描きましょう。各弦を直角に二等分する直線は、ちょうど一点で交わり、その点が中心です。
丸い皿の中心はどこ？
雑誌から円形の紙を切り抜き、そのちょうど真ん中にピンを刺したいとします。円には測定の基準にできる角がないので、定規だけではあまり役に立ちません。そこで役立つのが、紙を折ることです。2つの半分がぴったり重なるように紙を半分に折ると、折り目は中心をまっすぐ通ります。紙を開いて別の向きに半分に折ると、2本目の折り目は最初の折り目と中心で交わります。ユークリッドの『原論』では、折り目の代わりに直線を使って同じことを行います。円を扱う第III巻の最初の命題が、与えられた円の中心を求めるという問題です。
一つの点から同じ距離
円とは、平面上の1つの定点から等しい距離にあるすべての点の集まりです。その定点を中心といい、普通はOで表します。中心と円上の任意の点を結ぶ線分が半径で、その長さをrと書きます。円上のすべての点は中心から等しい距離にあるため、1つの円の半径はすべて等しくなります。また、円上の各点に1本ずつあるので、半径は無数にあります。円上の2点を結び、中心を通る線分を直径といい、dで表します。半径2本を端から端につないだ長さなので、d = 2r、r = d ÷ 2です。半径7 cmの円なら直径は14 cmです。コンパスは、この定義をそのまま使って円を描きます。針は中心に固定され、鉛筆はそこから半径だけ離れた位置に保たれます。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
弦、弧、扇形、弓形
両端が円上にある線分を弦といいます。直径も弦の1つで、中心を通るものです。また、直径は最も長い弦でもあります。ユークリッドは『原論』第III巻の命題15で、直径が円の中で最も長い直線であることを証明しています。円上の2点は、曲線そのものも2つの部分に分けます。それぞれの部分を弧といいます。短いほうが劣弧、長いほうが優弧です。2点が直径の両端なら、どちらの弧も半円になります。AからBまでの弧は、文字ABの上に小さな曲線の印を付けて表します。
これらの部分から、2種類の領域ができます。扇形は、2本の半径とその間の弧で囲まれる領域で、ピザの1切れのような形です。2本の半径の間の角が、その扇形の中心角です。弓形は、弦とそれに対応する弧の間の領域です。丸いパンを1回まっすぐ切ったとき、切り離される部分が弓形になります。切り口が直径なら弓形は半円です。半円は、中心角が180°の扇形でもあります。
円と一点または二点で交わる直線
直線は、円と2点で交わる場合も、1点で交わる場合も、まったく交わらない場合もあります。円上の2点を通る直線が割線で、その円の内側にある部分が弦です。円とちょうど1点で接する直線が接線で、その接する点が接点です。ユークリッドの定義では、直線が円と交わり、どちらの方向に延ばしても円を横切らないとき、その直線は円に接するといいます。平らな道路に立っている自転車の車輪がよい例です。道路はタイヤの1点に接し、その内側には入りません。単元6では、その接点に引いた半径が接線と必ず直角になることを証明します。
二本の弦で中心を求める
紙の円に戻りましょう。今度は折らずに中心を求めます。任意の弦ABを描き、中点Mを印します。Mを通りABと直角になる直線を引きます。これが弦の垂直二等分線です。その直線上のどの点も、AとBから等しい距離にあります。中心もそのような点です。OAとOBはいずれも半径なので、中心はこの直線上のどこかにあります。次に、最初の弦と平行でない別の弦CDについて同じことを繰り返します。中心は両方の直線上にあり、平行でない2直線の交点は1つだけです。したがって、その交点が中心です。ユークリッドは第III巻の命題1の系として、直線が弦を直角に二等分するなら、円の中心はその直線上にあると述べています。
| 中心 | 円上のすべての点から等距離にある一定の点 |
| 半径r | 中心から円上への線分 |
| 直径d | 中心を通る弦で最長。d = 2r |
| 弦 | 円上の二点を結ぶ線分 |
| 弧 | 二点の間の円周の一部 |
| 扇形 | 二本の半径と弧の間の領域 |
| 弓形 | 弦と弧の間の領域 |
| 接線 | 円と一点だけで接する直線 |
| 割線 | 円と二点で交わる直線 |
- 半径7 cmの円があります。直径は何cmですか？
- 直径18 cmの円があります。半径は何cmですか？
- 円の弦のうち、最も長いものはどれですか？
- 直径
- 半径
- 縁に近い弦
- すべて同じ長さ
- 円の半径は何本ありますか？
- 無数
- 2
- 4
- 360
- 弦とその弧の間の領域を何といいますか？
- 弓形
- 扇形
- 半円のみ
- 割線
- 円とちょうど一点で接する直線を何といいますか？
- 接線
- 割線
- 弦
- 直径
- 半径5 cmの円があります。弦の中点が中心から3 cmの位置にあります。弦の長さは何cmですか？
- 半径13 cmの円があります。弦が中心から5 cmの位置にあります。弦の長さは何cmですか？
- 半径10 cmの円に、長さ16 cmの弦があります。この弦は中心から何cm離れていますか？
- 直径は必ず弦ですか？
- はい、中心を通る弦です
- いいえ、弦は中心を通りません
- 大きい円だけです
- 横向きに描く場合だけです
- どの弦でも、その垂直二等分線が通るのは次のうちどれですか？
- 円の中心
- 弦の片端
- 接点
- 特別な点はない
- 「直径と弦は別物です」 直径は、中心を通る特別な弦です。弦であり、しかも最も長い弦です。
- 「ABの弧と弦は同じ二点を結ぶので同じ長さです」 弦はまっすぐな道、弧は曲がった道です。二点間の最短経路は線分なので、弧は必ず弦より長くなります。
- 「扇形と弓形は同じ形の別名です」 扇形には中心に角があり、直線の辺が二本あります。弓形には直線の辺が弦一本だけあり、中心に角はありません。両方に当てはまるのは半円だけです。
- 円は、中心Oから距離rにある点すべての集まりです。どの半径も長さがrで、d = 2rです。
- 弦は円上の二点を結ぶ線分で、直径は最も長い弦です。
- 弧は円周の一部です。扇形は二本の半径と弧、弓形は弦と弧で囲まれます。
- 割線は円と二点で、接線は一点で交わります。どの弦の垂直二等分線も、中心を通ります。
このコースの出典 (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
確認日: 2026-10-19