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円

円を学ぶ六つの単元です。各部の名前と中心の求め方、アルキメデスの多角形による円周率と円周、扇形を並べ替えた円の面積、360°に対する割合で弧の長さと扇形の面積、中心角と円周角、半円の角、半径と接線の直交、一点からの接線の長さを扱います。円上の点を動かし、円柱と円錐を展開し、円グラフの区分を選びましょう。

進み具合

このコースについて

D. E. Joyce版『原論』第I巻の定義15で、ユークリッドは円を、内部の一点から境界まで引いたすべての線分が等しくなる、一つの線で囲まれた平面図形としています。Joyceの注釈は、現代との二つの違いを挙げています。ユークリッドにとって円とは平面上の領域で、曲線部分は円周です。また、「半径」に当たる独立した語はなく、「中心からの線」と書いていました。英語のcentreは、突き棒や火かきをも意味するギリシャ語に由来し、コンパスの固定する側のとがった脚を指しています。

六つの単元は円の各部の名称から始まります。皿に二本の弦を引くと、その垂直二等分線は中心という一点で交わります。次は円周率と円周です。アルキメデスは円周率を3 10/71と3 1/7の間に絞りました。MacTutorによれば、πを現在の意味で初めて使ったのは1706年のウィリアム・ジョーンズです。祖沖之（430〜501年）は、小数点以下六桁まで正しい355/113を示しました。円の面積では直径30 cmと20 cmのピザを比べます。幅は1.5倍でも、食べられる量は2.25倍です。弧の長さと扇形の面積では、長さ10 cmの長針が20分で120°動く例を使います。中心角と円周角では、『原論』第III巻の命題31、半円に対する円周角が90°であることを扱います。最後の単元では、半径5 cmの円の中心から13 cm離れた点から引いた二本の接線が、どちらも12 cmになることを学びます。実験では円周上の点をドラッグし、円柱や円錐を開き、円グラフの扇形をクリックできます。

はじめる前に

一周の何分の一かを考えることは、弧の長さや扇形の面積を求める助けになります。角は中心角、円周角、接線の説明にも役立ちます。最初のレッスンで円の各部を確認し、半径、直径、弦、接線を区別してから公式を使います。

終わったら

弦から円の中心を見つけ、半径と直径を区別し、円周と面積を計算できます。360°に対する割合から弧の長さや扇形の面積を求め、中心角と円周角を関連付けられます。半円に対する円周角が直角であることを見分け、同じ外部の点から引いた接線の長さが等しいことも使えます。

  1. 1円の各部：半径、直径、弦、弧、扇形、接線丸い皿に好きな二本の弦を描きましょう。各弦を直角に二等分する直線は、ちょうど一点で交わり、その点が中心です。
  2. 2円周率と円周丸い物に糸を一周巻くと、直径の三倍より少し長くなります。アルキメデスは、この「少し」を3 10/71と3 1/7の間に閉じ込めました。
  3. 3円の面積はなぜπr²？直径30 cmのピザは20 cmの1.5倍の幅ですが、食べる量は2.25倍です。
  4. 4弧の長さと扇形の面積長さ10 cmの分針は20分で120°、文字盤の三分の一を動き、先端は約20.9 cm進みます。
  5. 5中心角と円周角円上の点を直径の両端と結ぶと、その点での角はちょうど90°になります。ユークリッドはこれを第III巻の命題31として証明しました。
  6. 6接線：接点での直角と、等しい接線の長さ半径5 cmの円の中心から13 cm離れた点から引いた二本の接線は、どちらもちょうど12 cmの長さです。

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このコースの出典 (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

確認日: 2026-10-19