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三角形

三角形を学ぶ七つの単元です。辺と角による分類、内角の和180°と外角、三角形を作れる三辺の長さ、合同条件と二辺とその間にない角では不十分な理由、相似と拡大率、三平方の定理の二つの証明と逆、底辺と高さやヘロンの公式による面積を扱います。三角比の実験室で頂点を動かし、数値の変化を見ましょう。

進み具合

このコースについて

紙の三角形の三つの角をちぎり、頂点を一か所に合わせて並べてみましょう。どんな三角形でも一直線に並び、180°になります。これが内角の和で、このコースの最初の性質です。三角比の実験では各角を0.1°単位に丸めるため、表示された三つの数の合計が0.1ずれることはありますが、「合計」の欄に示す正確な和は180°です。

七つの単元で、三角形の種類、内角の和と外角、三角形を作れる三辺の長さ、三角形の合同（SSS・SAS・ASAとSSAが使えない理由）、三角形の相似と相似比、二通りの証明と逆を含む三平方の定理、ヘロンの公式を使った面積を学びます。一方を拡大・縮小すると他方と重なる二つの図形は相似で、対応する角は等しく、対応する辺の比はすべて同じです。この比を相似比といいます。方眼紙で直角を挟む二辺が3マスと4マスの三角形を描くと、それぞれの辺上の正方形は9マスと16マスで、最長の辺上の正方形はちょうど25マスを占めます。

最後の単元では二通りの方法で面積を求めます。二つ目は高さを使いません。三辺をa・b・cとして、周の長さの半分sを求め、面積 = √(s(s − a)(s − b)(s − c))を計算します。辺が13・14・15なら、s = 42 ÷ 2 = 21で、面積は√(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84です。三角比の実験で三角形の頂点をドラッグし、数値の変化を見てみましょう。

はじめる前に

角の加算、長さの比較、比の計算が例題を解く助けになります。角は平角や平行線を使う説明の準備になります。三角形の実習では頂点を動かして測定値を比べられますが、画面に何が出るかだけでなく、規則が成り立つ理由も考えます。

終わったら

辺と角で三角形を分類し、未知の角を求め、三つの長さで三角形が作れるか確かめられます。合同条件を使い、SSAでは不十分な理由を説明し、相似な三角形から高さを計算できます。三平方の定理を使い、底辺と高さやヘロンの公式で面積を求められます。

  1. 1辺と角による三角形の分類辺が5、5、8 cmの三角形は二等辺三角形で、鈍角三角形でもあります。前者は辺、後者は最大の角（約106°）による名前です。
  2. 2内角の和と外角紙の三角形の三つの角をちぎり、頂点を合わせて並べましょう。どんな形でも一直線、180°になります。
  3. 3三角形を作れる三辺の長さ3 cm、4 cm、8 cmの棒では三角形を作れません。短い二本を合わせても3 + 4 = 7 cmで、長い棒に一センチ足りません。
  4. 4合同な三角形：SSS、SAS、ASAとSSAが不十分な理由角30°、辺10と6が共通でも、第三辺が約11.98と5.34の異なる三角形ができます。
  5. 5相似な三角形と拡大率身長1.6 mの生徒の影が2 m、旗ざおの影が15 mです。高さは1.6 × 15 ÷ 2 = 12 mで、登る必要はありません。
  6. 6三平方の定理、二つの証明と逆方眼紙で、直角をはさむ辺が3マスと4マスの直角三角形なら、その辺に立てた正方形は9マスと16マス、斜辺の正方形はちょうど25マスです。
  7. 7三角形の面積とヘロンの公式辺が13 m、14 m、15 mの三角形の面積はちょうど84 m²で、まったく異なる二つの道すじで求められます。

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このコースの出典 (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

確認日: 2026-10-19