合同な三角形：SSS、SAS、ASAとSSAが不十分な理由
角30°、辺10と6が共通でも、第三辺が約11.98と5.34の異なる三角形ができます。
対応する任意の三つの要素が等しければ、二つの三角形は合同になりますか？
三角形には、三つの辺と三つの角という六つの測定値があります。二つの三角形がまったく同じだと示すのに六つすべてを確かめるのは大変なので、幾何学では近道を探します。うまく選んだ三つの要素から、残りの三つが決まる場合です。よくある思い込みは、どの三つでもよいというものです。もっともらしく聞こえますが、二重に誤りです。三つの角が等しくても大きさは決まりません。また、二辺と、その間にない角が分かっていても、形が決まるとは限りません。この単元ではこの二つの失敗を詳しく調べ、そのうえで成り立つ条件を見ていきます。
まず、合同とは何かを確認します。OpenStaxでは、二つの三角形のうち一方を持ち上げ、必要なら回したり裏返したりして、もう一方にぴったり重ねられるとき、それらは合同だと説明しています。このとき、対応する辺は等しく、対応する角も等しくなります。対応の順序が大切です。△ABC ≡ △DEFと書くと、AはD、BはE、CはFに対応するという約束になり、AB = DE、BC = EF、CA = FD、角A = 角Dなども成り立ちます。韓国の教科書は≡を使い、OpenStaxや多くの英語の本は同じ意味で≅と書きます。
角が等しいと形は決まるが大きさは決まらない
30°、60°、90°の三角定規と、校庭にチョークで大きく描いた30°、60°、90°の三角形を考えましょう。三つの角はすべて等しいのですが、同じものだと言う人はいません。角・角・角（AAA）で決まるのは形だけです。この二つの三角形は相似で、これは次の単元で扱いますが、合同ではありません。大きさを決めるには、少なくとも一つの長さを条件に含める必要があります。
二辺とその間にない角
次は、見落としやすい失敗です。角Aを30°に固定し、辺ABの長さを10とし、辺BCは6にするとします。BCをコンパスの腕のように、Bを中心に回しましょう。図のように、その先端は底辺の直線上の二か所に届きます。一方の三角形では、第三の辺ACが約11.98で、角は約30°、93.6°、56.4°です。もう一方ではACが約5.34で、角は約30°、26.4°、123.6°です。どちらも30°の角、長さ10の辺、長さ6の辺をもちますが、明らかに異なる三角形です。したがって、角が二辺の間にない二辺・角（SSA）は、合同条件ではありません。
ただし、ある場合には条件が十分になります。与えられた角の向かいの辺が、もう一方の与えられた辺以上の長さなら、回転する辺が正しい側に届く位置は1か所だけで、三角形は定まります。最もよく知られた例が直角です。与えられた角が90°なら、向かいの辺は最長の辺である斜辺です。したがって、直角三角形は斜辺とほかの1辺で定まります。このような場合を除けば、2辺とその間にない角だけでは不十分です。
有効な三つの合同条件
三角形を完全に定める組み合わせは3つあります。3辺（SSS）は、一方の三角形の3辺が他方の対応する3辺とすべて等しければ、合同になるという条件です。2辺とその間の角（SAS）では、挟まれた角が2辺の位置を固定し、残りの辺も定まります。2つの角とその間の辺（ASA）も条件になります。2つの角とそれ以外の辺でも定まります。内角の和から3つ目の角が分かるため、結局、その辺は既知の2角の間にあることになるからです。OpenStaxはこの最後の条件をAASとして別に挙げています。SASとASAの並びに注目しましょう。与えられた角や辺は、ほかの2つの間にあり、脇に外れてはいません。
| SSS | 三辺がそれぞれ等しい |
| SAS | 二辺とその間の角がそれぞれ等しい |
| ASA | 二角とその間の辺がそれぞれ等しい |
| SSA | 一般には合同条件にならない：二つの三角形ができうる |
| AAA | 形だけが同じ：相似になるが、合同にはならない |
SASで底角の等しさを証明
最初に学ぶ代表的な証明を見てみましょう。二等辺三角形ABCで、AB = ACとします。角Aの二等分線を引き、BCとの交点をDとします。三角形ABDとACDを比べます。仮定よりAB = ACです。ADは角Aを二等分するので、角BAD = 角CADです。また、ADは両方に共通する辺です。2辺とその間の角が等しいため、SASによって2つの三角形は合同となり、対応する角BとCは等しくなります。紙の二等辺三角形をこの二等分線に沿って折っても同じことが分かります。証明は、なぜ必ずぴったり重なるのかを説明しています。
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- 一般には合同を保証しない条件はどれですか？
- 二辺とその間にない角
- 三辺
- 二辺とその間の角
- 二角とその間の辺
- 二つの三角形の角が、どちらも40°、60°、80°です。この二つは？
- 相似だが合同とは限らない
- 必ず合同
- 相似にはならない
- 直角三角形
- AB = DE、BC = EF、CA = FDです。△ABC ≡ △DEFを示す条件は？
- SSS
- SAS
- ASA
- なし
- AB = DE、角B = 角E、BC = EFです。どの条件が当てはまりますか？
- SAS
- SSA
- ASA
- SSS
- 角A = 角D、AB = DE、角B = 角Eです。どの条件が当てはまりますか？
- ASA
- SAS
- SSS
- AAA
- △ABC ≡ △DEFで、AB = 7 cmです。DEの長さは？
- △PQR ≡ △XYZで、角P = 50°、角Q = 70°です。角Zを求めましょう。
- SSAの例でA = 30°、AB = 10、BC = 6です。長い方のACを小数第二位まで求めましょう。
- AB = ACの二等辺三角形ABCで、角Aの二等分線がBCとDで交わります。△ABD ≡ △ACDを示す条件は？
- SAS
- SSA
- AAA
- ASA
- 斜辺が13で一辺が5の直角三角形があります。斜辺と一辺が同じ別の直角三角形もあります。この二つは合同ですか？
- はい
- いいえ
- もう一辺が分かる場合だけ
- 両方二等辺の場合だけ
- 「二辺と一角が等しいので合同です」 二辺の間の角のときだけです。そうでない場合は、コンパスの円が底辺と二度交わるため、30°、10、6の例のように、二つの異なる三角形ができます。
- 「△ABC ≡ △DEFなのでAB = EFです」 順序が対応です。AはD、BはEなのでABはDEで、EFではありません。対応を書いてから等しい部分を読みましょう。
- 「三つの角がすべて等しいので合同です」 角が等しければ、大きさが違っても同じ形になります。三角定規と、校庭にチョークで描いた三角形は、すべての角を共有できます。これが相似です。
- 合同はぴったり重なり、対応する辺と角が等しいことです。
- 成り立つ条件はSSS、SAS（間の角）、ASA（間の辺）で、AASはASAから導けます。
- SSAは一般には不十分で、二通りの三角形ができます。AAAでは相似しか保証されません。
- △ABC ≡ △DEFの順序が対応を示します。
このコースの出典 (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
- 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
- OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
- History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).
確認日: 2026-10-19