Triangoli congruenti: SSS, SAS, ASA e perché SSA non basta

Due triangoli possono avere un angolo di 30° e lati di 10 e 6, ma essere diversi: il terzo lato misura circa 11.98 in uno e 5.34 nell'altro.

Tre elementi uguali bastano sempre per la congruenza?

Un triangolo ha sei misure, tre lati e tre angoli. Controllarle tutte e sei per mostrare che due triangoli sono identici è noioso, quindi la geometria cerca scorciatoie: tre elementi scelti bene che impongano gli altri tre. Una convinzione comune è che bastino tre elementi qualsiasi. Sembra ragionevole. Ma è sbagliata in due modi. Tre angoli uguali non fissano la grandezza, e due lati con un angolo non compreso tra di essi non fissano sempre la forma. Questa unità analizza entrambi i fallimenti, e ciò che resta sono le condizioni che funzionano.

Prima di tutto, che cosa significa congruente. OpenStax dice che due triangoli sono congruenti se puoi prenderne uno e appoggiarlo sull'altro in modo che coincidano, girandolo o ribaltandolo se serve. Allora i lati corrispondenti sono uguali e gli angoli corrispondenti sono uguali. La corrispondenza conta. Scrivere △ABC ≡ △DEF promette che A va in D, B in E e C in F, quindi AB = DE, BC = EF, CA = FD, e l'angolo A = l'angolo D e così via. I libri di testo coreani usano il segno ≡; OpenStax e molti libri inglesi scrivono ≅ per la stessa idea.

Gli angoli uguali fissano la forma, non la grandezza

Prendi una squadra da 30°, 60°, 90° e un gigantesco triangolo da 30°, 60°, 90° disegnato col gesso nel cortile. Tutti e tre gli angoli coincidono, eppure nessuno li direbbe identici. Angolo-angolo-angolo fissa soltanto la forma. Quei due triangoli sono simili, argomento dell'unità successiva, ma non congruenti. Per fissare la grandezza, almeno una lunghezza deve far parte della condizione.

Due lati e un angolo non compreso tra di essi

Ora il fallimento sottile. Fissa l'angolo A a 30°, fai il lato AB lungo 10 unità e chiedi che il lato BC sia 6. Fai ruotare BC attorno a B come il braccio di un compasso. La sua punta può posarsi sulla retta di base in due punti, come mostra la figura. Un triangolo ha il terzo lato AC di circa 11.98 e angoli di circa 30°, 93.6° e 56.4°. L'altro ha AC di circa 5.34 e angoli di circa 30°, 26.4° e 123.6°. Entrambi hanno un angolo di 30°, un lato di 10 e un lato di 6, eppure sono chiaramente triangoli diversi. Quindi lato-lato-angolo, con l'angolo non compreso tra i due lati, non è una condizione di congruenza.

In un caso c'è una via d'uscita. Se il lato opposto all'angolo dato è lungo almeno quanto l'altro lato dato, il braccio che ruota può posarsi una sola volta dal lato giusto, e il triangolo è fissato. L'angolo retto è l'esempio più noto: quando l'angolo dato è 90°, il lato che gli sta di fronte è l'ipotenusa, il lato più lungo, quindi un triangolo rettangolo è fissato dalla sua ipotenusa e da un cateto. Fuori da questi casi, due lati e un angolo non compreso non bastano.

Tre criteri che funzionano

Tre combinazioni determinano completamente un triangolo. Tre lati (SSS): se tutti e tre i lati di un triangolo sono uguali ai lati corrispondenti di un altro, i triangoli sono congruenti. Due lati e l'angolo compreso (SAS): l'angolo compreso blocca i due lati al loro posto, e il terzo lato è imposto. Due angoli e il lato compreso (ASA). Anche due angoli e un altro lato qualsiasi funzionano, perché la somma degli angoli fornisce già il terzo angolo, e allora il lato sta comunque tra due angoli noti. OpenStax elenca quest'ultimo caso a parte come AAS. Nota lo schema in SAS e ASA: l'angolo o il lato dato sta tra gli altri due, mai da una parte.

Dimostrare con SAS gli angoli uguali alla base

Ecco la classica prima dimostrazione. Nel triangolo isoscele ABC, sia AB = AC. Traccia la bisettrice dell'angolo A e chiama D il punto in cui incontra BC. Confronta i triangoli ABD e ACD. AB = AC per ipotesi. L'angolo BAD = l'angolo CAD perché AD è la bisettrice dell'angolo A. E AD è un lato di entrambi. Due lati e l'angolo compreso coincidono, quindi per SAS i triangoli sono congruenti, e gli angoli corrispondenti B e C sono uguali. Piegare un triangolo isoscele di carta lungo quella bisettrice mostra la stessa cosa; la dimostrazione spiega perché la piega combacia sempre.