Triangoli simili e scala

Un alunno alto 1.6 m proietta un'ombra di 2 m, l'asta della bandiera una di 15 m. L'asta è alta 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m, senza salirci.

Come Talete misurò una piramide da terra

Puoi ripetere il trucco in una giornata di sole a scuola. Uno studente alto 1.6 m proietta un'ombra di 2 m. Nello stesso momento l'asta della bandiera proietta un'ombra di 15 m. I raggi del sole arrivano con lo stesso angolo in tutto il cortile, quindi lo studente e l'asta formano ciascuno un triangolo rettangolo con gli stessi angoli. Altezza divisa per ombra deve essere uguale per entrambi: 1.6 ÷ 2 = 0.8, quindi l'asta è alta 15 × 0.8 = 12 m. OpenStax fa lo stesso calcolo con una torre radio: un camion alto 9 ft con un'ombra di 15 ft significa che una torre con un'ombra di 180 ft è alta 180 × 9 ÷ 15 = 108 ft.

Che cosa significa simili

Due figure sono simili quando una è un ingrandimento o una riduzione dell'altra. OpenStax Prealgebra lo dice semplicemente: stessa forma, dimensione diversa, una è un modello in scala dell'altra. Per i triangoli significa due cose insieme. Gli angoli corrispondenti sono uguali. E i lati corrispondenti sono tutti nello stesso rapporto, chiamato fattore di scala. Se il triangolo ABC è simile al triangolo DEF con fattore di scala 2, allora DE = 2 × AB, EF = 2 × BC e FD = 2 × CA, mentre gli angoli in D, E e F sono esattamente quelli in A, B e C. Nei libri coreani si scrive △ABC ∽ △DEF, e il rapporto tra i lati corrispondenti, qui 1 : 2, si chiama rapporto di similitudine.

Come stabilisci che due triangoli sono simili senza misurare tutto? La proposizione 4 del libro VI di Euclide dice che i triangoli con angoli uguali hanno lati proporzionali, quindi bastano angoli uguali e, poiché la somma degli angoli è 180°, due angoli uguali determinano già il terzo. È il criterio angolo-angolo, quello usato da Talete. Altri due criteri rispecchiano le condizioni di congruenza: tutte e tre le coppie di lati nello stesso rapporto, oppure due coppie di lati nello stesso rapporto e l'angolo compreso uguale. Solo il criterio angolo-angolo non contiene alcuna lunghezza: ecco perché è quello a cui ricorri quando lavori con le ombre.

Trovare un lato mancante con una proporzione

Una volta saputo che due triangoli sono simili, scrivi una frazione per ogni coppia di lati corrispondenti e uguagliale. Il pericolo è abbinare i lati sbagliati. Un'abitudine sicura è accoppiare i lati in base agli angoli che hanno di fronte: il lato opposto all'angolo retto in un triangolo va con il lato opposto all'angolo retto nell'altro, e così via. Supponi △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, DE = 10. Allora DE : AB = 10 : 4 = 2.5, quindi EF = 6 × 2.5 = 15. Controlla con l'altra coppia se la conosci: ogni coppia corrispondente deve dare lo stesso 2.5.

Le aree crescono col quadrato della scala

Un fattore di scala 2 raddoppia ogni lunghezza, ma non raddoppia l'area. La base raddoppia e l'altezza raddoppia, quindi base × altezza ÷ 2 cresce 2 × 2 = 4 volte. Con fattore di scala k, le aree si moltiplicano per k². Una foto stampata con una larghezza tripla richiede nove volte più carta. I perimetri, essendo lunghezze, crescono solo k volte: triangoli simili con rapporto di similitudine 2 : 3 e un perimetro minore di 30 cm hanno un perimetro maggiore di 45 cm.