삼각형의 닮음과 닮음비

키 1.6 m인 학생의 그림자가 2 m일 때 학교 국기 게양대의 그림자는 15 m입니다. 게양대의 높이는 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m이고, 아무도 올라가 볼 필요가 없었습니다.

탈레스는 땅에 선 채로 피라미드의 높이를 쟀습니다

배경밀레토스의 탈레스는 기원전 6세기 사람입니다. OpenStax 교과서는 그가 이집트 피라미드에 오르지 않고 높이를 알아냈다는 이야기를 전합니다. 탈레스는 자기 그림자 끝이 피라미드 그림자 끝과 같은 곳에 닿는 순간을 기다렸습니다. 그 순간 햇빛, 탈레스의 몸, 그의 그림자가 작은 직각삼각형을 이루고, 같은 햇빛이 피라미드와 그 그림자와 함께 큰 직각삼각형을 이룹니다. 두 삼각형은 세 각이 같으니 변의 길이의 비도 같고, 그래서 자기 키와 두 그림자의 길이만으로 피라미드의 높이를 계산할 수 있었습니다. 같은 책은 이등변삼각형의 두 밑각이 같다는 것을 처음 알아낸 사람도 탈레스라고 전합니다. 지난 단원에서 증명한 바로 그 성질입니다.

맑은 날 학교에서 같은 방법을 써 볼 수 있습니다. 키 1.6 m인 학생의 그림자가 2 m입니다. 같은 순간 국기 게양대의 그림자는 15 m입니다. 운동장 어디에서나 햇빛은 같은 각도로 비치므로, 학생과 게양대는 각각 세 각이 같은 직각삼각형을 만듭니다. 그러니 높이를 그림자로 나눈 값이 둘 다 같아야 합니다. 1.6 ÷ 2 = 0.8이므로 게양대의 높이는 15 × 0.8 = 12 m입니다. OpenStax 교과서는 같은 계산을 송신탑으로 합니다. 높이 9피트인 트럭의 그림자가 15피트일 때 그림자가 180피트인 탑의 높이는 180 × 9 ÷ 15 = 108피트입니다.

학생이 만드는 삼각형과 게양대가 만드는 삼각형은 세 각이 같아서 높이와 그림자의 비도 1.6 : 2 = 12 : 15로 같습니다. 두 그림은 서로 다른 축척으로 그렸습니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

그림자 방법입니다. 태양 슬라이더를 움직이면 두 그림자가 함께 바뀌지만, 막대와 탑에서 높이 ÷ 그림자는 늘 같고, 아래 칸은 막대의 비로 탑의 높이를 다시 구합니다.

닮음이란 무엇인가

한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 것이 다른 도형과 합동이면, 두 도형은 서로 닮음이라고 합니다. 모양은 같고 크기만 다른 것이지요. 삼각형에서는 두 가지가 함께 성립합니다. 대응각의 크기가 각각 같고, 대응변의 길이의 비가 모두 같습니다. 이 일정한 비를 닮음비라고 합니다. △ABC와 △DEF가 닮음이고 닮음비가 1 : 2이면 DE = 2 × AB, EF = 2 × BC, FD = 2 × CA이고, D, E, F의 각은 A, B, C의 각과 똑같습니다. 기호로는 △ABC ∽ △DEF라고 쓰고, 합동처럼 글자 순서가 대응을 나타냅니다.

모든 것을 재지 않고 두 삼각형이 닮음인지 어떻게 판단할까요? 삼각형의 닮음 조건은 세 가지입니다. 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때, 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때, 그리고 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때입니다. 마지막 조건은 『원론』 제6권 명제 4와 이어집니다. 각이 같은 삼각형은 대응변이 비례한다는 명제입니다. 내각의 합이 180°이니 두 각만 같으면 셋째 각은 저절로 같아집니다. 탈레스가 쓴 것도 이 조건입니다. 세 조건 가운데 길이를 하나도 재지 않아도 되는 것은 이것뿐이라, 그림자 문제에서는 늘 이 조건을 씁니다.

비례식으로 모르는 변을 구합니다

두 삼각형이 닮음이라는 것을 알면, 대응변끼리 비를 하나씩 쓰고 같다고 놓습니다. 엉뚱한 변끼리 짝을 지으면 답이 틀립니다. 마주 보는 각으로 짝을 지으면 안전합니다. 한 삼각형에서 직각의 대변은 다른 삼각형에서도 직각의 대변과 짝입니다. 예를 들어 △ABC ∽ △DEF이고 AB = 4, BC = 6, DE = 10이라면 닮음비는 4 : 10이고 큰 쪽이 2.5배이므로 EF = 6 × 2.5 = 15입니다. 다른 대응변을 알면 그것으로도 확인하세요. 대응변마다 똑같이 2.5배가 나와야 합니다.

넓이는 닮음비의 제곱으로 커집니다

닮음비가 1 : 2이면 모든 길이가 두 배가 되지만 넓이는 두 배가 아닙니다. 밑변도 두 배, 높이도 두 배이니 (밑변) × (높이) ÷ 2는 2 × 2 = 4배가 됩니다. 일반적으로 닮음비가 1 : k이면 넓이는 k²배입니다. 사진을 가로세로 세 배로 뽑으면 종이가 아홉 배 듭니다. 둘레는 길이라서 k배만 됩니다. 닮음비가 2 : 3인 두 삼각형에서 작은 쪽의 둘레가 30 cm이면 큰 쪽의 둘레는 45 cm입니다.

키 1.6 m인 학생의 그림자가 2 m일 때 국기 게양대의 그림자가 15 m입니다. 게양대의 높이는?
높이 9피트인 트럭의 그림자가 15피트일 때 송신탑의 그림자가 180피트입니다. 송신탑의 높이는 몇 피트일까요?
키 5피트인 사람의 그림자가 7피트일 때 나무의 그림자가 57피트입니다. 나무의 높이를 소수 첫째 자리까지 구하면?
△ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, DE = 10입니다. EF의 길이는?
닮음비가 1 : 3인 두 삼각형에서 작은 쪽의 넓이가 5 cm²입니다. 큰 쪽의 넓이는?
닮음비가 2 : 3인 두 삼각형에서 작은 쪽의 둘레가 30 cm입니다. 큰 쪽의 둘레는?
삼각형 1의 두 각은 50°, 70°이고 삼각형 2의 두 각은 70°, 60°입니다. 두 삼각형은 닮음일까요?
- 그렇다
- 아니다
- 변이 주어져야 알 수 있다
- 둘 다 직각삼각형일 때만
세 변이 3, 4, 5인 삼각형과 6, 8, 11인 삼각형은 닮음일까요?
- 아니다
- 그렇다, 닮음비 1 : 2
- 그렇다, 닮음비 1 : 2.2
- 각만 같다
OpenStax의 예에서 한 삼각형의 변 4, 7이 다른 삼각형의 2, 3.5와 대응합니다. 첫째에서 둘째로 가는 배율은?
- 0.5
- 2
- 0.57
- 1.75
축척 1 : 50 000인 지도에서 두 마을이 6 cm 떨어져 있습니다. 실제 거리는 몇 km일까요?

자주 하는 실수

「닮음비가 1 : 2이니 넓이도 두 배다.」 밑변과 높이가 모두 두 배가 되므로 넓이는 2 × 2 = 4배입니다. 길이는 k배, 넓이는 k²배입니다.
「△ABC ∽ △DEF에서 AB = 4, EF = 10이니 닮음비는 4 : 10이다.」 AB의 대응변은 EF가 아니라 DE입니다. 나누기 전에 글자 순서나 마주 보는 각으로 대응변을 먼저 짝지으세요.
「모든 변에 같은 길이를 더하면 닮음이 유지된다.」 3, 4, 5에 2씩 더하면 5, 6, 7이 되는데 5 ÷ 3, 6 ÷ 4, 7 ÷ 5가 모두 다릅니다. 닮음은 더하기가 아니라 곱하기입니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정은 닮음을 중학교 1~3학년군에 둡니다. 도형의 닮음의 뜻과 닮음비는 [9수03-12], 삼각형의 닮음 조건은 [9수03-13]이고, 닮음, 닮음비, 삼각형의 닮음 조건, 기호 ∽가 용어와 기호 목록에 있습니다. 「다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 합동과 닮음의 의미를 이해하게 한다」는 고려 사항도 붙어 있습니다. 그림자 재기는 바깥 수업으로 좋습니다. 모둠마다 한 사람의 키와 그림자, 그리고 나무나 게양대의 그림자를 재고 결과를 견주어 보게 하세요. 모둠마다 높이가 조금씩 다르게 나오는데, 그것이 측정 오차에 관한 이야기를 꺼내기 좋은 계기가 됩니다.

핵심 정리

닮음인 삼각형: 대응각이 같고 대응변의 길이의 비가 일정합니다.
닮음 조건: 세 변의 비, 두 변의 비와 끼인각, 두 각.
대응변은 글자 순서나 마주 보는 각으로 짝짓습니다.
닮음비가 1 : k이면 길이와 둘레는 k배, 넓이는 k²배입니다.

이 과정의 출처 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

확인한 날: 2026-10-19