Triângulos semelhantes e escala
Um estudante de 1.6 m projeta uma sombra de 2 m enquanto o mastro da escola projeta uma de 15 m. O mastro mede 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m, sem ninguém precisar subir.
Como Tales mediu uma pirâmide do chão
Você pode repetir num dia de sol na escola. Um estudante de 1.6 m projeta uma sombra de 2 m. Ao mesmo tempo, o mastro projeta uma de 15 m. Os raios solares chegam com o mesmo ângulo a todo o pátio; estudante e mastro formam triângulos retângulos de ângulos iguais. Altura dividida por sombra deve ser igual nos dois: 1.6 ÷ 2 = 0.8, então o mastro mede 15 × 0.8 = 12 m. A OpenStax faz a mesma conta com uma torre de rádio: um caminhão de 9 ft com sombra de 15 ft indica que uma torre com sombra de 180 ft mede 180 × 9 ÷ 15 = 108 ft.
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
O que significa semelhante
Duas figuras são semelhantes quando uma é ampliação ou redução da outra. O Prealgebra da OpenStax resume: mesma forma, tamanhos diferentes, uma é um modelo em escala da outra. Para triângulos, são duas condições ao mesmo tempo: ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes na mesma razão, chamada fator de escala. Se ABC é semelhante a DEF com fator 2, então DE = 2 × AB, EF = 2 × BC e FD = 2 × CA; os ângulos em D, E e F são exatamente os de A, B e C. Nos livros coreanos, escreve-se △ABC ∽ △DEF, e a razão entre lados correspondentes, aqui 1 : 2, é a razão de semelhança.
Como decidir que dois triângulos são semelhantes sem medir tudo? A proposição 4 do livro VI de Euclides diz que triângulos com ângulos iguais têm lados proporcionais; portanto, ângulos iguais bastam e, como a soma dos ângulos é 180°, dois ângulos iguais já determinam o terceiro. Esse é o teste ângulo-ângulo, o que Tales usou. Outros dois testes espelham as condições de congruência: os três pares de lados na mesma razão, ou dois pares de lados na mesma razão com o ângulo compreendido igual. Só o teste ângulo-ângulo não envolve nenhum comprimento, e por isso é o que se usa com sombras.
Encontrando um lado desconhecido com uma proporção
Sabendo que os triângulos são semelhantes, escreva uma fração para cada par de lados correspondentes e iguale-as. O risco é emparelhar os lados errados. Um hábito seguro é usar os ângulos opostos: o lado oposto ao ângulo reto de um corresponde ao oposto ao ângulo reto do outro, e assim por diante. Suponha △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, DE = 10. Então DE : AB = 10 : 4 = 2.5, logo EF = 6 × 2.5 = 15. Confira com outro par se o conhecer; todos devem dar o mesmo 2.5.
Áreas crescem com o quadrado da escala
Um fator de escala 2 dobra todos os comprimentos, mas não a área. Base e altura dobram, então base × altura ÷ 2 cresce 2 × 2 = 4 vezes. Com fator k, as áreas se multiplicam por k². Uma foto impressa com o triplo da largura exige nove vezes mais papel. Perímetros, por serem comprimentos, só crescem k vezes: em triângulos semelhantes de razão 2 : 3 e perímetro menor de 30 cm, o maior mede 45 cm.
- Um estudante de 1.6 m projeta uma sombra de 2 m. Ao mesmo tempo, um mastro projeta uma de 15 m. Qual é a altura do mastro?
- Um caminhão de 9 ft projeta sombra de 15 ft enquanto uma torre de rádio projeta uma de 180 ft. Qual é a altura da torre?
- Uma pessoa de 5 ft projeta sombra de 7 ft e uma árvore, de 57 ft. Qual é a altura da árvore, com uma casa decimal?
- △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6 e DE = 10. Encontre EF.
- Dois triângulos são semelhantes com fator de escala 3. O menor tem área 5 cm². Qual é a área do maior?
- Triângulos semelhantes têm razão de semelhança 2 : 3. O perímetro menor é 30 cm. Encontre o maior.
- O triângulo 1 tem ângulos de 50° e 70°. O triângulo 2 tem 70° e 60°. São semelhantes?
- Sim
- Não
- Só se os lados forem dados
- Só se ambos forem retângulos
- Lados 3, 4, 5 e lados 6, 8, 11. Os triângulos são semelhantes?
- Não
- Sim, fator de escala 2
- Sim, fator de escala 2.2
- Só os ângulos são iguais
- Na OpenStax, os lados 4 e 7 de um triângulo correspondem aos de 2 e 3.5 do outro. O fator de escala do primeiro para o segundo é:
- 0.5
- 2
- 0.57
- 1.75
- Num mapa de escala 1 : 50 000, duas cidades estão a 6 cm uma da outra. Qual é a distância em quilômetros?
- “O fator de escala é 2, então a área dobra.” Base e altura dobram, então a área fica 2 × 2 = 4 vezes maior. Comprimentos multiplicam-se por k; áreas, por k².
- “△ABC ∽ △DEF com AB = 4 e EF = 10, então o fator de escala é 2.5.” AB corresponde a DE, não a EF. Emparelhe os lados pela ordem das letras ou pelos ângulos opostos antes de dividir.
- “Some a mesma quantidade a todos os lados e o triângulo continua semelhante.” Somar 2 aos lados 3, 4, 5 dá 5, 6, 7; as razões 5 ÷ 3, 6 ÷ 4, 7 ÷ 5 são diferentes. Semelhança exige multiplicar, não somar.
- Triângulos semelhantes: ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes numa mesma razão.
- Casos: razão SSS, razão SAS com ângulo compreendido ou dois ângulos iguais (AA).
- Emparelhe os lados pela ordem das letras ou pelos ângulos opostos.
- Fator de escala k: comprimentos e perímetros vezes k; áreas vezes k².
Fontes deste curso (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
- 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
- OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
- History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).
Data de verificação: 2026-10-19