Triangles semblables et échelle

Un élève de 1.6 m projette une ombre de 2 m ; le mât de l'école en projette une de 15 m. Il mesure 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m, sans avoir à y grimper.

Comment Thalès a mesuré une pyramide depuis le sol

Tu peux recommencer un jour ensoleillé à l'école. Un élève de 1.6 m projette une ombre de 2 m ; au même instant, un mât en projette une de 15 m. Les rayons arrivent partout dans la cour sous le même angle : élève et mât forment des triangles rectangles de mêmes angles. Hauteur divisée par ombre est identique : 1.6 ÷ 2 = 0.8, donc le mât mesure 15 × 0.8 = 12 m. OpenStax fait le même calcul avec une tour radio : un camion de 9 ft avec une ombre de 15 ft indique qu'une tour ayant une ombre de 180 ft mesure 180 × 9 ÷ 15 = 108 ft.

Ce que signifie semblable

Deux figures sont semblables si l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre. Prealgebra d'OpenStax résume : même forme, taille différente, l'une est un modèle à l'échelle de l'autre. Pour les triangles, cela implique deux choses : angles correspondants égaux et côtés correspondants dans un même rapport, le coefficient d'agrandissement. Si ABC est semblable à DEF avec coefficient 2, DE = 2 × AB, EF = 2 × BC et FD = 2 × CA ; les angles D, E, F sont exactement A, B, C. Dans les manuels coréens, on écrit △ABC ∽ △DEF et on appelle rapport de similitude le rapport des côtés correspondants, ici 1 : 2.

Comment décider que deux triangles sont semblables sans tout mesurer ? La proposition 4 du livre VI d'Euclide dit que des triangles dont les angles sont égaux ont des côtés proportionnels : des angles égaux suffisent donc, et comme la somme des angles vaut 180°, deux angles égaux donnent déjà le troisième. C'est le cas angle-angle, celui que Thalès a utilisé. Deux autres cas reprennent les conditions d'égalité des triangles : les trois paires de côtés dans le même rapport, ou deux paires de côtés dans le même rapport avec l'angle compris égal. Seul le cas angle-angle ne contient aucune longueur, et c'est pourquoi on le choisit quand on travaille avec des ombres.

Trouver un côté inconnu avec une proportion

Quand tu sais que deux triangles sont semblables, écris une fraction pour chaque paire de côtés correspondants et égalise-les. Le danger est d'associer les mauvais côtés. Une bonne habitude consiste à associer les côtés d'après les angles auxquels ils sont opposés : le côté opposé à l'angle droit dans un triangle correspond au côté opposé à l'angle droit dans l'autre, et ainsi de suite. Supposons △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, DE = 10. Alors DE : AB = 10 : 4 = 2.5, donc EF = 6 × 2.5 = 15. Vérifie avec l'autre paire si tu la connais ; chaque paire de côtés correspondants doit donner le même 2.5.

Les aires croissent avec le carré du coefficient

Un coefficient de 2 double les longueurs, pas l'aire. Base et hauteur doublent, donc base × hauteur ÷ 2 est multiplié par 2 × 2 = 4. Avec coefficient k, les aires sont multipliées par k². Une photo imprimée trois fois plus large demande neuf fois plus de papier. Les périmètres, qui sont des longueurs, ne sont multipliés que par k : des triangles semblables de rapport 2 : 3 avec petit périmètre de 30 cm ont un grand périmètre de 45 cm.