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Start›Geometrie und Zeichnungen›Dreiecke

Ähnliche Dreiecke und Maßstab

Ein 1.6 m großes Schulkind wirft 2 m Schatten, der Fahnenmast der Schule 15 m. Der Mast ist 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m hoch, ohne hinaufzuklettern.

Wie Thales eine Pyramide vom Boden aus maß

HintergrundThales von Milet lebte im sechsten Jahrhundert vor Christus. OpenStax Contemporary Mathematics erzählt die Geschichte, dass er die Höhe einer ägyptischen Pyramide bestimmte, ohne sie zu besteigen. Er wartete auf den Augenblick, in dem die Spitze seines eigenen Schattens die Spitze des Pyramidenschattens erreichte. Dann bildeten die Sonnenstrahlen, sein Körper und sein Schatten ein kleines rechtwinkliges Dreieck, und dieselben Strahlen mit der Pyramide und ihrem Schatten bildeten ein großes. Die beiden Dreiecke hatten dieselben Winkel, also standen ihre Seiten im selben Verhältnis, und seine eigene Größe und zwei Schattenlängen genügten, um die Höhe der Pyramide auszurechnen. Dasselbe Buch schreibt Thales auch die Beobachtung zu, dass die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich sind, was du in der letzten Einheit bewiesen hast.

Wiederhole es an einem Sonnentag in der Schule. Ein 1.6 m großes Kind wirft 2 m Schatten, der Mast gleichzeitig 15 m. Die Sonnenstrahlen treffen den ganzen Hof im gleichen Winkel; beide bilden rechtwinklige Dreiecke mit gleichen Winkeln. Höhe durch Schatten muss übereinstimmen: 1.6 ÷ 2 = 0.8, also ist der Mast 15 × 0.8 = 12 m hoch. OpenStax rechnet mit einem Funkturm: Ein 9 ft hoher Lastwagen mit 15 ft Schatten bedeutet für den Turm mit 180 ft Schatten eine Höhe von 180 × 9 ÷ 15 = 108 ft.

Die Dreiecke von Kind und Mast haben gleiche Winkel, also stehen Höhe und Schatten im selben Verhältnis: 1.6 : 2 = 12 : 15. Sie sind in verschiedenen Maßstäben gezeichnet.
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Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.

Schattenmethode. Verschiebe den Sonnenregler: Beide Schatten ändern sich, aber Höhe ÷ Schatten bleibt bei Stab und Turm gleich. Im Feld erhältst du aus dem Stab die Turmhöhe.

Was ähnlich bedeutet

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn eine Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen ist. OpenStax Prealgebra fasst zusammen: gleiche Form, andere Größe, ein maßstäbliches Modell. Bei Dreiecken bedeutet das zugleich gleiche entsprechende Winkel und ein gleiches Verhältnis entsprechender Seiten, den Streckfaktor. Ist ABC ähnlich zu DEF mit Faktor 2, gilt DE = 2 × AB, EF = 2 × BC und FD = 2 × CA; die Winkel D, E, F entsprechen genau A, B, C. Koreanische Bücher schreiben △ABC ∽ △DEF und nennen das Seitenverhältnis, hier 1 : 2, Ähnlichkeitsverhältnis.

Wie entscheidest du, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, ohne alles zu messen? Euklids Satz 4 in Buch VI sagt, dass Dreiecke mit gleichen Winkeln proportionale Seiten haben. Gleiche Winkel genügen also, und weil die Winkelsumme 180° beträgt, liefern zwei gleiche Winkel bereits den dritten. Das ist der Winkel-Winkel-Test, den Thales benutzte. Zwei weitere Tests entsprechen den Kongruenzbedingungen: alle drei Seitenpaare im selben Verhältnis oder zwei Seitenpaare im selben Verhältnis mit gleichem eingeschlossenem Winkel. Nur der Winkel-Winkel-Test enthält keine Länge, deshalb greift man bei Schatten zu ihm.

Eine fehlende Seite mit einer Verhältnisgleichung finden

Weißt du, dass Dreiecke ähnlich sind, schreibe pro entsprechendem Seitenpaar einen Bruch und setze sie gleich. Gefährlich ist die falsche Zuordnung. Ordne nach den gegenüberliegenden Winkeln: Die Seite gegenüber dem rechten Winkel gehört zur entsprechenden des anderen Dreiecks. Sei △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, DE = 10. Dann DE : AB = 10 : 4 = 2.5, also EF = 6 × 2.5 = 15. Prüfe mit einem weiteren bekannten Paar; jedes muss 2.5 ergeben.

Flächen wachsen mit dem Quadrat des Streckfaktors

Faktor 2 verdoppelt alle Längen, aber nicht die Fläche. Grundseite und Höhe verdoppeln sich, also wächst Grundseite × Höhe ÷ 2 um 2 × 2 = 4. Bei Faktor k werden Flächen mit k² multipliziert. Ein Foto mit dreifacher Breite braucht neunmal so viel Papier. Umfänge sind Längen und wachsen nur um k: Ähnliche Dreiecke mit Verhältnis 2 : 3 und kleinerem Umfang 30 cm haben größeren Umfang 45 cm.

  1. Ein 1.6 m großes Kind wirft 2 m Schatten. Ein Mast wirft gleichzeitig 15 m Schatten. Wie hoch ist der Mast?
  2. Ein 9 ft hoher Lastwagen wirft 15 ft Schatten, ein Funkturm 180 ft. Wie hoch ist der Turm?
  3. Eine 5 ft große Person wirft 7 ft Schatten, ein Baum 57 ft. Wie hoch ist der Baum auf eine Dezimalstelle?
  4. △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6 und DE = 10. Finde EF.
  5. Zwei Dreiecke sind ähnlich mit Faktor 3. Das kleinere hat Fläche 5 cm². Wie groß ist die Fläche des größeren?
  6. Ähnliche Dreiecke haben Verhältnis 2 : 3. Der kleinere Umfang ist 30 cm. Finde den größeren.
  7. Dreieck 1 hat Winkel 50° und 70°, Dreieck 2 hat 70° und 60°. Sind sie ähnlich?
    • Ja
    • Nein
    • Nur wenn Seiten gegeben sind
    • Nur wenn beide rechtwinklig sind
  8. Seiten 3, 4, 5 und Seiten 6, 8, 11. Sind die Dreiecke ähnlich?
    • Nein
    • Ja, Faktor 2
    • Ja, Faktor 2.2
    • Nur die Winkel sind gleich
  9. Bei OpenStax entsprechen die Seiten 4 und 7 in einem Dreieck den Seiten 2 und 3.5 im anderen. Der Streckfaktor vom ersten zum zweiten Dreieck ist:
    • 0.5
    • 2
    • 0.57
    • 1.75
  10. Auf einer Karte im Maßstab 1 : 50 000 liegen zwei Orte 6 cm auseinander. Wie viele Kilometer sind es in Wirklichkeit?
Häufige Fehler
  • „Der Streckfaktor ist 2, also verdoppelt sich die Fläche.“ Grundseite und Höhe verdoppeln sich, also wird die Fläche 2 × 2 = 4-mal so groß. Längen wachsen mit k, Flächen mit k².
  • „△ABC ∽ △DEF mit AB = 4 und EF = 10, also ist der Streckfaktor 2.5.“ AB entspricht DE, nicht EF. Ordne vor dem Teilen nach Buchstabenfolge oder gegenüberliegenden Winkeln zu.
  • „Addiere zu jeder Seite dasselbe, dann bleibt das Dreieck ähnlich.“ Zu 3, 4, 5 jeweils 2 addiert ergibt 5, 6, 7. Die Verhältnisse 5 ÷ 3, 6 ÷ 4, 7 ÷ 5 unterscheiden sich. Ähnlichkeit braucht Multiplikation, nicht Addition.
Hinweis für LehrkräfteDer koreanische Lehrplan von 2022 ordnet die Ähnlichkeit der Mittelschulstufe zu, mit einem Lernziel zur Bedeutung der Ähnlichkeit und des Ähnlichkeitsverhältnisses und einem weiteren zu den Ähnlichkeitsbedingungen für Dreiecke. Seine Begriffsliste enthält das Ähnlichkeitsverhältnis und das Zeichen ∽. Der Lehrplan empfiehlt außerdem Hilfsmittel und Software für die Bedeutung von Kongruenz und Ähnlichkeit. Die Schattenmessung eignet sich gut als Aufgabe im Freien: Messt in Gruppen eine Person und einen Schatten, dann den Schatten eines Baums oder eines Fahnenmasts, und vergleicht die Antworten zwischen den Gruppen. Verschiedene Gruppen erhalten leicht unterschiedliche Höhen, was ein nützliches Gespräch über Messfehler eröffnet.
Das Wichtigste
  • Ähnliche Dreiecke: gleiche entsprechende Winkel und Seiten im selben Verhältnis.
  • Bedingungen: SSS-Verhältnis, SAS-Verhältnis mit eingeschlossenem Winkel oder zwei gleiche Winkel (AA).
  • Ordne Seiten nach Buchstabenfolge oder gegenüberliegenden Winkeln zu.
  • Streckfaktor k: Längen und Umfänge mal k, Flächen mal k².
Quellen zu diesem Kurs (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Abgerufen: 2026-10-19