Triángulos semejantes y escala

Un estudiante de 1.6 m proyecta una sombra de 2 m mientras el asta de la escuela proyecta una de 15 m. El asta mide 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m de altura, sin que nadie tenga que subir.

Cómo midió Tales una pirámide desde el suelo

Puedes repetirlo un día soleado en la escuela. Un estudiante de 1.6 m de altura proyecta una sombra de 2 m. Al mismo tiempo, el asta proyecta una de 15 m. Los rayos del sol llegan con el mismo ángulo a todo el patio, así que el estudiante y el asta forman triángulos rectángulos con los mismos ángulos. La altura dividida entre la sombra debe ser igual en ambos: 1.6 ÷ 2 = 0.8, así que el asta mide 15 × 0.8 = 12 m. OpenStax hace el mismo cálculo con una torre de radio: un camión de 9 ft con una sombra de 15 ft indica que una torre con sombra de 180 ft mide 180 × 9 ÷ 15 = 108 ft de altura.

Qué significa semejante

Dos figuras son semejantes cuando una es una ampliación o reducción de la otra. En Prealgebra de OpenStax se expresa de forma sencilla: misma forma, distinto tamaño; una es un modelo a escala de la otra. Para los triángulos eso significa dos cosas a la vez. Los ángulos correspondientes son iguales. Y los lados correspondientes están todos en la misma razón, llamada factor de escala. Si el triángulo ABC es semejante al DEF con factor de escala 2, entonces DE = 2 × AB, EF = 2 × BC y FD = 2 × CA; los ángulos en D, E y F son exactamente los de A, B y C. En los libros coreanos se escribe △ABC ∽ △DEF y la razón entre lados correspondientes, aquí 1 : 2, se llama razón de semejanza.

¿Cómo decides que dos triángulos son semejantes sin medirlo todo? Según la proposición 4 del libro VI de Euclides, los triángulos con ángulos iguales tienen lados proporcionales. Por tanto, bastan los ángulos iguales y, como suman 180°, dos ya determinan el tercero. Ese es el criterio ángulo-ángulo que usó Tales. Otros dos se parecen a los de congruencia: los tres pares de lados en la misma razón, o dos pares en la misma razón con el ángulo comprendido igual. Solo el criterio ángulo-ángulo no incluye ninguna longitud; por eso resulta útil con las sombras.

Hallar un lado desconocido con una proporción

Una vez que sabes que dos triángulos son semejantes, escribe una fracción por cada par de lados correspondientes e iguálalas. El peligro es emparejar lados equivocados. Una práctica segura es hacerlo según los ángulos opuestos: el lado opuesto al ángulo recto de uno corresponde al opuesto al ángulo recto del otro, y así sucesivamente. Supón △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, DE = 10. Entonces DE : AB = 10 : 4 = 2.5, así que EF = 6 × 2.5 = 15. Comprueba con el otro par si lo conoces; todos deben dar el mismo 2.5.

Las áreas crecen con el cuadrado de la escala

Un factor de escala 2 duplica todas las longitudes, pero no el área. La base se duplica y la altura también, así que base × altura ÷ 2 aumenta 2 × 2 = 4 veces. Con factor de escala k, las áreas se multiplican por k². Una foto impresa al triple de ancho necesita nueve veces más papel. Los perímetros, como son longitudes, solo aumentan k veces: dos triángulos semejantes con razón 2 : 3 y perímetro menor de 30 cm tienen perímetro mayor de 45 cm.