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Triángulos

Siete unidades sobre triángulos: clasificación por lados y ángulos, suma de ángulos de 180° y ángulo exterior, qué tres longitudes forman un triángulo, criterios de congruencia y por qué falla lado-lado-ángulo, triángulos semejantes y escala, teorema de Pitágoras con dos demostraciones y su recíproco, y área a partir de la base y la altura o de los tres lados con la fórmula de Herón. Arrastra los vértices de un triángulo en el laboratorio de trigonometría y observa cómo cambian los números.

Progreso

Acerca de este curso

Arranca las tres esquinas de cualquier triángulo de papel y colócalas punta con punta. Llenan una línea recta, 180°, sea cual sea el triángulo del que partiste. Esa es la suma de los ángulos, y es el primer dato del curso. El laboratorio de trigonometría redondea cada ángulo a 0.1°, de modo que los tres números redondeados pueden desviarse en 0.1, pero la suma exacta que aparece en la línea Suma es 180°.

Las siete unidades son los tipos de triángulos, la suma de los ángulos y el ángulo exterior, qué tres longitudes forman un triángulo, triángulos congruentes (LLL, LAL, ALA y por qué falla LLA), triángulos semejantes y escala, el teorema de Pitágoras con dos demostraciones y su recíproco, y el área con la fórmula de Herón. Dos figuras son semejantes cuando una es una ampliación o reducción de la otra, de modo que los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes están todos en la misma razón, llamada factor de escala. En papel cuadriculado, un triángulo rectángulo con catetos de 3 y 4 cuadros tiene cuadrados de 9 y 16 sobre sus catetos, y el cuadrado sobre su lado más largo cubre exactamente 25.

La última unidad halla el área de dos maneras. La segunda vía no necesita ninguna altura: para los lados a, b y c, halla s, la mitad del perímetro, y luego Área = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Para 13, 14 y 15, s = 42 ÷ 2 = 21, y el área es √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Arrastra los vértices de un triángulo en el laboratorio de trigonometría y mira cómo cambian los números.

Antes de empezar

Sumar ángulos, comparar longitudes y trabajar con razones ayuda con estos ejemplos. Ángulos te prepara para los razonamientos con ángulos llanos y rectas paralelas. En el laboratorio de triángulos puedes mover vértices y comparar medidas, pero las lecciones también preguntan por qué se cumple una regla, no solo qué muestra la pantalla.

Al terminar

Podrás clasificar triángulos por sus lados y ángulos, hallar ángulos faltantes y comprobar si tres longitudes forman un triángulo. Sabrás usar criterios de congruencia, explicar por qué LLA (SSA en inglés) no basta y calcular una altura con triángulos semejantes. Podrás aplicar el teorema de Pitágoras y hallar áreas con base y altura o con la fórmula de Herón.

  1. 1Tipos de triángulos según sus lados y ángulosUn triángulo de lados 5, 5 y 8 cm es isósceles y obtusángulo a la vez. El primer nombre depende de sus lados; el segundo, de su ángulo mayor, de unos 106°.
  2. 2Suma de ángulos y ángulo exteriorArranca las tres esquinas de un triángulo de papel y júntalas por sus puntas. Forman una línea recta de 180°, sea cual sea el triángulo inicial.
  3. 3Qué tres longitudes forman un triánguloNo puedes unir palitos de 3 cm, 4 cm y 8 cm para formar un triángulo. Los dos cortos solo alcanzan 3 + 4 = 7 cm, un centímetro menos que el largo.
  4. 4Triángulos congruentes: SSS, SAS, ASA y por qué falla SSADos triángulos pueden tener un ángulo de 30°, un lado de 10 y otro de 6 y aun así ser distintos: el tercer lado mide aproximadamente 11.98 en uno y 5.34 en el otro.
  5. 5Triángulos semejantes y escalaUn estudiante de 1.6 m proyecta una sombra de 2 m mientras el asta de la escuela proyecta una de 15 m. El asta mide 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m de altura, sin que nadie tenga que subir.
  6. 6El teorema de Pitágoras, dos demostraciones y su recíprocoEn papel cuadriculado, un triángulo rectángulo con catetos de 3 y 4 cuadros tiene cuadrados de 9 y 16 sobre sus catetos; el cuadrado sobre el lado mayor cubre exactamente 25.
  7. 7Área de un triángulo y fórmula de HerónUn triángulo con lados de 13, 14 y 15 m tiene un área de exactamente 84 m², y puedes llegar a ese número por dos caminos muy distintos.

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Fuentes de este curso (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Fecha de consulta: 2026-10-19