Área de un triángulo y fórmula de Herón

Un triángulo con lados de 13, 14 y 15 m tiene un área de exactamente 84 m², y puedes llegar a ese número por dos caminos muy distintos.

Un terreno del que solo conoces los tres lados

Este es el problema. Se quiere sembrar césped en un pequeño terreno triangular de una esquina. Sus tres bordes, medidos con cinta, son de 13 m, 14 m y 15 m. El paquete de semillas indica cuántos metros cuadrados cubre. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el terreno? Sabes que el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, pero nadie midió una altura; tender la cinta desde un borde hasta el vértice opuesto a exactamente 90° es más difícil de lo que parece. Intenta hallar el área antes de seguir. Una manera solo requiere lo aprendido en unidades anteriores.

Un camino usa el teorema de Pitágoras. Toma el lado de 14 m como base y traza la altura h desde el vértice opuesto. Divide la base en dos partes, x y 14 − x, y forma dos triángulos rectángulos. En el izquierdo, h² = 13² − x². En el derecho, h² = 15² − (14 − x)². Iguala: 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², de donde 28x = 140 y x = 5. Entonces h² = 169 − 25 = 144 y h = 12. El área es 14 × 12 ÷ 2 = 84 m². Los dos triángulos rectángulos son 5, 12, 13 y 9, 12, 15, ambos con lados enteros.

Por qué la mitad de la base por la altura

En Prealgebra de OpenStax se parte de un rectángulo de base b y altura h, con área b × h, y se corta por una diagonal en dos triángulos idénticos de área igual a la mitad de bh. Eso resuelve el caso de los triángulos rectángulos. Para cualquier otro triángulo, dibuja alrededor un rectángulo con la misma base y altura. El triángulo ocupa la mitad porque las dos piezas sobrantes son copias de los dos triángulos rectángulos que lo componen. En ambos casos, A = ½ × b × h. La altura se mide perpendicularmente a la base elegida, desde su recta hasta el vértice opuesto. Cualquier lado puede servir de base si usas su altura correspondiente.

En un triángulo obtusángulo, la altura puede quedar fuera, como a la derecha de la figura. No es un error. Prolonga la recta de la base, traza la perpendicular desde el vértice opuesto hasta esa recta y usa esa longitud como h. La fórmula sigue funcionando porque el triángulo es la diferencia entre un triángulo rectángulo grande y otro menor con la misma altura.

Conviene conocer una consecuencia. Los triángulos con la misma base y altura tienen la misma área, por inclinados que estén. Desliza el vértice superior por una recta paralela a la base y el área no cambia. Euclides usa esta idea en su demostración del teorema de Pitágoras: un paralelogramo tiene el doble de área que un triángulo sobre la misma base y entre las mismas paralelas.

Para la fórmula de Herón bastan los tres lados

El segundo camino no necesita altura. En Precalculus de OpenStax se presenta la fórmula de Herón para un triángulo con lados a, b y c. Primero halla s, la mitad del perímetro: s = (a + b + c) ÷ 2. Luego Área = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Para 13, 14 y 15, s = 42 ÷ 2 = 21, y el área es √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. La misma respuesta, sin altura. En el ejemplo del libro, con lados 10, 15 y 7, s = 16 y el área es √(16 × 6 × 1 × 9) = √864, unas 29.4 unidades cuadradas.

Para probar una fórmula, aplícala a un caso conocido. En el triángulo rectángulo 3, 4, 5, s = 6 y √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6, exactamente 3 × 4 ÷ 2. Para 5, 5, 8, s = 9 y √(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12; la altura al lado de 8 es 3, pues 3² + 4² = 5², y 8 × 3 ÷ 2 = 12. Observa también qué ocurre con lados que incumplen la desigualdad triangular, como 3, 4, 7: s = 7, un factor s − c es 0 y el área es 0. El resultado coincide con lo visto en la unidad 3.