Dreiecksfläche und Herons Formel

Ein Dreieck mit den Seiten 13, 14 und 15 m hat genau die Fläche 84 m², und zu dieser Zahl führen zwei ganz verschiedene Wege.

Ein Grundstück, von dem du nur die drei Seiten kennst

Hier ist die Aufgabe. Ein kleines dreieckiges Eckgrundstück soll mit Gras eingesät werden. Seine drei Ränder, mit einem Maßband gemessen, sind 13 m, 14 m und 15 m lang. Auf der Saatpackung steht, wie viele Quadratmeter eine Packung abdeckt. Wie viele Quadratmeter hat das Grundstück? Du weißt, dass die Fläche eines Dreiecks die Hälfte von Grundseite mal Höhe ist, aber niemand hat eine Höhe gemessen, und ein Maßband von einem Rand im Winkel von genau 90° bis zur gegenüberliegenden Ecke zu spannen, ist schwerer, als es klingt. Versuche, die Fläche zu finden, bevor du weiterliest. Ein Weg nutzt nur Dinge aus früheren Einheiten.

Ein Weg nutzt Pythagoras. Nimm die Seite 14 m als Grundseite und fälle Höhe h von der Gegenecke. Sie teilt die Basis in x und 14 − x und bildet zwei rechtwinklige Dreiecke. Links gilt h² = 13² − x², rechts h² = 15² − (14 − x)². Gleichsetzen: 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², also 28x = 140 und x = 5. Dann h² = 169 − 25 = 144 und h = 12. Die Fläche ist 14 × 12 ÷ 2 = 84 m². Die Teildreiecke sind 5, 12, 13 und 9, 12, 15, beide mit ganzzahligen Seiten.

Warum die halbe Grundseite mal Höhe

OpenStax Prealgebra geht von einem Rechteck mit der Grundseite b und der Höhe h aus, dessen Fläche b × h ist, und schneidet es entlang einer Diagonale in zwei gleiche Dreiecke, jedes mit der Fläche von der Hälfte von bh. Damit sind die rechtwinkligen Dreiecke geklärt. Für jedes andere Dreieck zeichnest du das Rechteck mit derselben Grundseite und Höhe um es herum. Das Dreieck nimmt davon die Hälfte ein, denn die beiden übrig bleibenden Stücke sind Kopien der beiden rechtwinkligen Dreiecke, aus denen das Dreieck selbst besteht. So oder so gilt A = ½ × b × h. Die Höhe wird im rechten Winkel zur gewählten Grundseite gemessen, von der Grundlinie bis zur gegenüberliegenden Ecke, und jede Seite kann als Grundseite dienen, wenn du ihre eigene Höhe verwendest.

Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt die Höhe manchmal außen, wie rechts im Bild. Das ist kein Fehler. Verlängere die Grundgerade, fälle das Lot von der Gegenecke und nutze diese Länge als h. Das Dreieck ist die Differenz eines großen und eines kleinen rechtwinkligen Dreiecks gleicher Höhe; die Formel gilt weiter.

Eine Folgerung ist wissenswert. Dreiecke mit derselben Grundseite und derselben Höhe haben dieselbe Fläche, egal wie schief sie sind. Verschiebst du die obere Ecke entlang einer Parallelen zur Grundseite, ändert sich die Fläche nicht. Euklid nutzt diesen Gedanken im Beweis des Satzes des Pythagoras, in dem ein Parallelogramm doppelt so groß ist wie ein Dreieck auf derselben Grundseite zwischen denselben Parallelen.

Herons Formel braucht nur die drei Seiten

Der zweite Weg braucht keine Höhe. OpenStax Precalculus nennt Herons Formel für a, b, c. Zuerst s, den halben Umfang: s = (a + b + c) ÷ 2. Dann Fläche = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Für 13, 14, 15 gilt s = 42 ÷ 2 = 21 und Fläche √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Dasselbe ohne Höhe. Im Buchbeispiel mit 10, 15 und 7 ist s = 16 und Fläche √(16 × 6 × 1 × 9) = √864, etwa 29.4 Flächeneinheiten.

Ein schneller Test für jede Formel ist, ihr einen Fall zu geben, den du schon kennst. Für das rechtwinklige Dreieck 3, 4, 5 ist s = 6 und √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6, und das ist genau 3 × 4 ÷ 2. Für 5, 5, 8 ist s = 9 und √(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12; die Höhe auf die Seite 8 ist 3, denn 3² + 4² = 5², und 8 × 3 ÷ 2 = 12. Beachte auch, was bei Seiten geschieht, die die Dreiecksungleichung verletzen, etwa 3, 4, 7: Dort ist s = 7, ein Faktor s − c ist 0, und die Fläche ist 0. Die Formel stimmt mit Einheit 3 überein.