Luas segitiga dan rumus Heron

Segitiga dengan sisi 13, 14, dan 15 m memiliki luas tepat 84 m², dan kamu dapat mencapai angka itu melalui dua jalan yang cukup berbeda.

Sebidang tanah yang hanya diketahui dari ketiga sisinya

Berikut persoalannya. Sebidang tanah kecil berbentuk segitiga di sudut akan ditanami rumput. Ketiga tepinya, diukur dengan pita ukur, adalah 13 m, 14 m, dan 15 m. Kemasan benih menyatakan berapa meter persegi yang dapat dicakup satu kemasan. Berapa meter persegi luas tanah itu? Kamu tahu luas segitiga adalah setengah hasil kali alas dan tinggi, tetapi tidak ada yang mengukur tinggi. Membentangkan pita lurus dari satu tepi ke titik sudut jauh pada sudut tepat 90° lebih sulit daripada kedengarannya. Cobalah mencari luas sebelum melanjutkan membaca. Salah satu cara hanya menggunakan hal-hal dari unit sebelumnya.

Salah satu cara menggunakan teorema Pythagoras. Ambil sisi 14 m sebagai alas dan tarik tinggi h dari titik sudut di hadapannya. Garis itu membagi alas menjadi dua bagian, misalnya x dan 14 − x, dan membentuk dua segitiga siku-siku. Dari segitiga kiri, h² = 13² − x². Dari segitiga kanan, h² = 15² − (14 − x)². Samakan keduanya: 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², sehingga 28x = 140 dan x = 5. Lalu h² = 169 − 25 = 144 dan h = 12. Luasnya 14 × 12 ÷ 2 = 84 m². Kedua segitiga siku-sikunya memiliki sisi 5, 12, 13 dan 9, 12, 15, semuanya bilangan bulat.

Mengapa setengah alas kali tinggi

OpenStax Prealgebra mulai dari sebuah persegi panjang dengan alas b dan tinggi h, luas b × h, lalu memotongnya sepanjang diagonal menjadi dua segitiga identik, masing-masing berluas setengah bh. Itu menyelesaikan segitiga siku-siku. Untuk segitiga lain mana pun, gambar persegi panjang di sekelilingnya dengan alas dan tinggi yang sama. Segitiga itu menempati setengahnya, karena dua bagian yang tersisa adalah salinan dari dua segitiga siku-siku yang menyusun segitiga itu sendiri. Dengan cara mana pun, A = ½ × b × h. Tinggi diukur tegak lurus terhadap alas yang dipilih, dari garis alas ke titik sudut di hadapannya, dan setiap sisi dapat menjadi alas jika kamu memakai tingginya sendiri.

Untuk segitiga tumpul, tinggi dapat jatuh di luar segitiga, seperti pada bagian kanan gambar. Itu bukan kesalahan. Perpanjang garis alas, tarik garis tegak lurus dari titik sudut jauh ke garis perpanjangan, dan gunakan panjang itu sebagai h. Rumusnya tetap berlaku karena segitiga tersebut merupakan selisih segitiga siku-siku besar dan segitiga lebih kecil yang tingginya sama.

Satu akibatnya layak diketahui. Segitiga dengan alas dan tinggi sama memiliki luas sama, betapapun miringnya. Geser titik sudut atas sepanjang garis sejajar alas dan luasnya tidak berubah. Euclid menggunakan gagasan ini dalam pembuktian teorema Pythagoras, ketika luas jajargenjang dua kali luas segitiga pada alas sama dan di antara garis sejajar yang sama.

Rumus Heron hanya memerlukan ketiga sisi

Cara kedua sama sekali tidak memerlukan tinggi. OpenStax Precalculus memberikan rumus Heron untuk segitiga dengan sisi a, b, dan c. Pertama cari s, setengah keliling: s = (a + b + c) ÷ 2. Lalu Luas = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Untuk 13, 14, dan 15, s = 42 ÷ 2 = 21, dan luasnya √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Jawaban sama, tanpa tinggi. Untuk contoh dalam buku itu sendiri, sisi 10, 15, dan 7, s = 16 dan luasnya √(16 × 6 × 1 × 9) = √864, sekitar 29.4 satuan persegi.

Pengujian cepat bagi rumus apa pun adalah memasukkan kasus yang sudah kamu ketahui. Untuk segitiga siku-siku 3, 4, 5, s = 6 dan √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6, tepat sama dengan 3 × 4 ÷ 2. Untuk 5, 5, 8, s = 9 dan √(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12; tinggi menuju sisi 8 adalah 3 karena 3² + 4² = 5², dan 8 × 3 ÷ 2 = 12. Perhatikan juga yang terjadi pada sisi yang melanggar pertidaksamaan segitiga, seperti 3, 4, 7: s = 7, satu faktor s − c bernilai 0, dan luasnya 0. Rumus itu sesuai dengan unit 3.