Teorema Pythagoras, dua bukti dan kebalikannya

Pada kertas berpetak, sebuah segitiga siku-siku dengan sisi tegak 3 dan 4 petak memiliki persegi 9 dan 16 pada sisi-sisi tegaknya, dan persegi pada sisi terpanjangnya mencakup tepat 25.

Hitung dahulu petak-petaknya

Ambil kertas berpetak dan gambar segitiga siku-siku dengan kedua sisi pendek sepanjang 3 petak mendatar dan 4 petak ke atas. Pada setiap sisi, gambar persegi di luar segitiga. Persegi pada sisi 3 memuat 9 persegi kecil dan pada sisi 4 memuat 16. Persegi pada sisi panjang yang miring posisinya juga miring, sehingga menghitung petaknya sulit. Namun, ukur sisinya dengan penggaris terhadap kisi dan kamu memperoleh 5, yang menghasilkan 25 petak. Dan 9 + 16 = 25. Coba kaki sepanjang 6 dan 8: perseginya memuat 36 dan 64 petak, total 100, dan sisi panjangnya berukuran 10.

Dalam segitiga siku-siku, sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring. Sisi itu selalu paling panjang karena berhadapan dengan sudut terbesar. Dua sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Pola yang kamu hitung adalah teorema Pythagoras: dalam setiap segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua kaki, a² + b² = c², dengan c sebagai sisi miring. OpenStax Prealgebra menyatakannya tepat dalam bentuk tersebut. Menguadratkan tidak berarti gambar harus memperlihatkan persegi; kamu dapat menggunakan rumus hanya pada panjangnya.

Bukti yang bisa digunting

Menghitung petak berhasil untuk 3 dan 4, tetapi pembuktian harus berlaku bagi setiap segitiga siku-siku. Potong empat salinan sembarang segitiga siku-siku dengan kaki a dan b serta sisi miring c. Susun di dalam persegi bersisi a + b dengan dua cara. Pada cara pertama, letakkan satu segitiga pada setiap sudut sehingga sisi miringnya mengelilingi persegi miring di tengah; luas persegi itu c². Pada cara kedua, pasangkan segitiga menjadi dua persegi panjang berukuran a kali b dan letakkan pada sudut berlawanan; ruang kosongnya berupa persegi bersisi a dan persegi bersisi b. Persegi besar dan keempat segitiga sama dalam kedua gambar, sehingga ruang kosongnya juga harus sama: c² = a² + b².

Gambar yang sama memberikan pembuktian aljabar. Persegi besar memiliki luas (a + b)² = a² + 2ab + b². Pada gambar kiri, luas itu merupakan persegi miring ditambah empat segitiga: c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2ab. Samakan keduanya dan 2ab saling menghapus, menyisakan a² + b² = c².

Kebalikannya memberi tahu kapan sebuah sudut adalah siku-siku

Proposisi 48 menjalankan teorema secara terbalik. Jika kuadrat salah satu sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, sudut di antara kedua sisi itu adalah siku-siku. Kebalikan inilah yang digunakan tukang bangunan dengan pita ukur: tandai 3 m sepanjang satu garis dinding dan 4 m sepanjang garis lainnya. Jika jarak kedua tanda tepat 5 m, sudutnya siku-siku. Sisi 5, 12, dan 13 bekerja dengan cara sama karena 25 + 144 = 169.

Perbandingan itu juga dapat mengelompokkan segitiga yang bukan siku-siku. Misalkan c adalah sisi terpanjang. Jika c² kurang dari a² + b², sudut di hadapan c lebih kecil daripada sudut siku-siku dan segitiganya lancip. Jika c² lebih besar, sudutnya tumpul. Sisi 6, 7, 9: 81 kurang dari 36 + 49 = 85, jadi lancip. Sisi 5, 6, 9: 81 lebih dari 25 + 36 = 61, jadi tumpul.

Tangga, spanduk, dan jalan pintas

Sebagian besar penggunaannya adalah mencari satu sisi dari dua sisi lain. OpenStax menempatkan tangga sepanjang 13 ft dengan kaki berjarak 5 ft dari dinding: ujung atasnya mencapai ketinggian √(13² − 5²) = √144 = 12 ft. Tangga 20 ft dengan kaki berjarak 6 ft mencapai √(400 − 36) = √364, sekitar 19.1 ft. Untuk jalan pintas yang lebih dekat dengan keseharian, bayangkan lapangan bermain sepanjang 80 m dan selebar 60 m. Berjalan mengitari dua tepinya menempuh 140 m; diagonalnya √(6400 + 3600) = √10000 = 100 m, sehingga memotong lapangan menghemat 40 m.