De stelling van Pythagoras, twee bewijzen en het omgekeerde

Op ruitjespapier krijgt een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 hokjes vierkanten van 9 en 16 op die zijden, en het vierkant op de langste zijde bedekt precies 25.

Tel eerst de vierkantjes

Neem ruitjespapier en teken een rechthoekige driehoek met de twee korte zijden 3 vakjes naar rechts en 4 omhoog. Teken op elke zijde buiten de driehoek een vierkant. Het vierkant op de zijde van 3 bevat 9 kleine vierkantjes en dat op de zijde van 4 bevat er 16. Het vierkant op de lange schuine zijde is gekanteld, waardoor tellen lastig is. Meet de zijde met een liniaal langs het raster: je krijgt 5, dus 25 vierkantjes. En 9 + 16 = 25. Probeer rechthoekszijden 6 en 8: de vierkanten bevatten 36 en 64 vakjes, samen 100, en de lange zijde meet 10.

Vierkanten op de drie zijden van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 3 en 4. De twee kleine vierkanten bevatten 9 en 16 eenheidsvierkanten en het gekantelde vierkant op de schuine zijde bevat er 25.

Tegenover de rechte hoek van een rechthoekige driehoek ligt de schuine zijde (hypotenusa). Dat is altijd de langste zijde, omdat ze tegenover de grootste hoek ligt. De twee zijden die de rechte hoek vormen, zijn de rechthoekszijden. Het patroon dat je telde is de stelling van Pythagoras: in elke rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden, a² + b² = c², waarbij c de schuine zijde is. OpenStax Prealgebra formuleert het precies zo. Kwadrateren betekent niet dat de tekening vierkanten moet tonen; je kunt de formule ook gewoon op de lengtes toepassen.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

Bij een hoek van 37° en een schuine zijde van 5 zijn de rechthoekszijden ongeveer 3.009 en 3.993, dicht bij 3 en 4. Verander een van de schuifregelaars en kwadrateer de twee rechthoekszijden in het paneel: hun som is altijd gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.

Een bewijs dat je uit papier kunt knippen

Vakjes tellen werkt bij 3 en 4, maar een bewijs moet voor elke rechthoekige driehoek gelden. Knip vier kopieën van een willekeurige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c. Leg ze op twee manieren in een vierkant met zijde a + b. Leg bij de eerste manier in elke hoek één driehoek, zodat hun schuine zijden in het midden een gekanteld vierkant insluiten; dat vierkant heeft oppervlakte c². Leg bij de tweede manier de driehoeken in paren tot twee rechthoeken van a bij b en schuif die naar tegenoverliggende hoeken; de lege ruimte is dan een vierkant met zijde a en een vierkant met zijde b. Het grote vierkant en de vier driehoeken zijn in beide figuren hetzelfde, dus de lege ruimte moet ook hetzelfde zijn: c² = a² + b².

In hetzelfde vierkant met zijde a + b liggen vier kopieën van de driehoek op twee manieren. Links is de overgebleven ruimte c². Rechts bestaat die uit a² en b².

Dezelfde tekening geeft een bewijs met algebra. Het grote vierkant heeft oppervlakte (a + b)² = a² + 2ab + b². In de linkertekening is die oppervlakte het gekantelde vierkant plus vier driehoeken: c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2ab. Stel de twee gelijk en 2ab valt weg, zodat a² + b² = c² overblijft.

AchtergrondDe stelling is Propositie 47 van Boek I van Euclides’ Elementen. In de uitgave van D. E. Joyce leggen de noten uit dat de naam stelling van Pythagoras pas eeuwen na Pythagoras door Proklos en anderen is gegeven; volgens OpenStax leefde Pythagoras rond 500 v.Chr. Het verband zelf is veel ouder. Oud-Babylonische schrijvers gebruikten het rond 1900 tot 1600 v.Chr. om vraagstukken op te lossen, en het kleitablet Plimpton 322 laat zien dat ze pythagorese drietallen konden construeren. In China bevat de Zhou bi suan jing een diagram van de schuine zijde, dat waarschijnlijk in de derde eeuw door de commentator Zhao Shuang is toegevoegd: vier rechthoeken van 3 bij 4 rond een vierkant van 1 bij 1 vormen een vierkant van 7 bij 7, en het gekantelde vierkant erin heeft oppervlakte 49 − 4 × 6 = 25, dus zijde 5. Joyce voegt toe dat het bewijs in de Elementen volgens Proklos van Euclides zelf is.

ca. 1900 tot 1600 v.Chr.: Oud-Babylonische schrijvers gebruiken de relatie; Plimpton 322 geeft pythagorese drietallen.
6de eeuw v.Chr.: Thales meet een piramide via haar schaduw (hoofdstuk 5).
ca. 500 v.Chr.: Pythagoras leeft in de Griekse wereld.
ongeveer 2400 jaar geleden: Euclides bewijst de stelling (Prop. 47) en het omgekeerde (Prop. 48).
3de eeuw n.Chr.: Het diagram van Zhao Shuang voor de schuine zijde in de Zhou bi suan jing.

Het omgekeerde laat zien wanneer een hoek recht is

Propositie 48 keert de stelling om. Is het vierkant op één zijde van een driehoek even groot als de som van de vierkanten op de andere twee, dan is de hoek tussen die twee zijden recht. Bouwers gebruiken dit omgekeerde met een meetlint: markeer 3 m langs de ene muurlijn en 4 m langs de andere. Liggen de markeringen precies 5 m uiteen, dan is de hoek recht. Zijden van 5, 12 en 13 werken net zo, want 25 + 144 = 169.

De vergelijking deelt ook driehoeken in die niet rechthoekig zijn. Laat c de langste zijde zijn. Is c² kleiner dan a² + b², dan is de hoek tegenover c kleiner dan een rechte hoek en is de driehoek scherphoekig. Is c² groter, dan is de hoek stomp. Zijden 6, 7, 9: 81 is kleiner dan 36 + 49 = 85, dus scherphoekig. Zijden 5, 6, 9: 81 is groter dan 25 + 36 = 61, dus stomphoekig.

Ladders, spandoeken en kortere routes

Meestal gebruik je de stelling om uit twee zijden de derde te vinden. OpenStax zet een ladder van 13 ft op 5 ft van een muur. De bovenkant bereikt √(13² − 5²) = √144 = 12 ft hoogte. Een ladder van 20 ft op 6 ft afstand bereikt √(400 − 36) = √364, ongeveer 19.1 ft. Dichter bij huis kun je denken aan een schoolplein van 80 m lang en 60 m breed. Langs twee randen lopen is 140 m. De diagonaal is √(6400 + 3600) = √10000 = 100 m, dus schuin oversteken scheelt 40 m.

De rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek zijn 3 en 4. Bereken de schuine zijde.
De rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek zijn 5 en 12. Bereken de schuine zijde.
Een ladder van 13 ft staat 5 ft van een muur. Hoe hoog tegen de muur reikt hij?
Een ladder van 20 ft staat 6 ft van een huis. Hoe hoog reikt hij, op één decimaal?
Een garagedeur is 12 ft hoog en 16 ft breed. Hoe lang is een spandoek dat van hoek naar hoek is gespannen?
Een speelplaats is 80 m bij 60 m. Hoeveel meter bespaar je door de diagonaal te lopen in plaats van langs twee randen?
Een steunbeugel van 10 inch wordt over een rechte hoek bevestigd, met beide uiteinden even ver van de hoek. Hoe ver van de hoek ligt elk uiteinde, op één decimaal?
Zijden 7, 24 en 25. De driehoek is:
- rechthoekig
- scherphoekig
- stomphoekig
- onmogelijk
Zijden 6, 7 en 9. De driehoek is:
- scherphoekig
- rechthoekig
- stomphoekig
- onmogelijk
Zijden 5, 6 en 9. De driehoek is:
- stomphoekig
- scherphoekig
- rechthoekig
- onmogelijk
In het Zhou bi-diagram omringen vier rechthoeken van 3 bij 4 een vierkant van 1 bij 1 en vormen samen een vierkant van 7 bij 7. Wat is de oppervlakte van het gekantelde vierkant erin?
Om een hoek met de 3, 4, 5-regel te controleren markeer je 6 m en 8 m langs de twee lijnen. Welke afstand tussen de markeringen betekent dat de hoek recht is?

Veelgemaakte fouten

‘De rechthoekszijden zijn 6 en 8, dus de schuine zijde is 6 + 8 = 14.’ Tel de kwadraten op, niet de lengtes: 36 + 64 = 100, dus de schuine zijde is 10. De driehoeksongelijkheid zegt trouwens al dat ze minder dan 14 moet zijn.
‘Een ladder van 13 lang staat 5 van de muur: √(13² + 5²) ≈ 13.9 hoog.’ De ladder is de schuine zijde, dus trek af: √(169 − 25) = 12. Een rechthoekszijde kan nooit langer zijn dan de schuine zijde.
‘5² + 6² ≠ 9², dus de stelling klopt hier niet.’ De stelling gaat alleen over rechthoekige driehoeken. Bij 5, 6, 9 laat de ongelijkheid 81 > 61 zien dat de driehoek stomphoekig is, en dat is het omgekeerde aan het werk.

Voor de docentIn het Koreaanse curriculum van 2022 staat de stelling van Pythagoras in de onderbouw van het voortgezet onderwijs. De toelichting vraagt leraren leerlingen de stelling via uiteenlopende activiteiten te laten vermoeden en haar daarna te laten onderbouwen, terwijl het omgekeerde intuïtief moet worden begrepen en gebruikt om te beslissen of drie gegeven zijden een rechthoekige driehoek vormen. Het curriculum stelt ook voor de geschiedenis te gebruiken om belangstelling te wekken. Vakjes tellen op ruitjespapier past goed bij de fase van het vermoeden. Voor de onderbouwing kun je de herschikking met vier driehoeken in een paar minuten uit karton knippen, en leerlingen die beide opstellingen naast elkaar zien, hebben de algebra zelden twee keer nodig.

Belangrijkste punten

Rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a, b en schuine zijde c: a² + b² = c².
Bewijs: vier kopieën in een vierkant met zijde a + b, op twee manieren gelegd.
Omgekeerde: als c² = a² + b², is de hoek tegenover c gelijk aan 90°.
c² < a² + b² betekent scherphoekig; c² > a² + b² betekent stomphoekig (c is de langste zijde).

Bronnen van deze cursus (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Geraadpleegd: 2026-10-19