edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Геометрия и чертежи›Треугольники

Теорема Пифагора, два доказательства и обратная теорема

На клетчатой бумаге у прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 клетки квадраты на катетах содержат 9 и 16 клеток, а на наибольшей стороне ровно 25.

Сначала посчитай клетки

Возьми бумагу в клетку и нарисуй прямоугольный треугольник с короткими сторонами в 3 клетки по горизонтали и 4 по вертикали. На каждой стороне построй квадрат снаружи треугольника. Квадрат на стороне 3 содержит 9 клеток, а на стороне 4 содержит 16. Квадрат на длинной наклонной стороне повёрнут, поэтому считать неудобно. Но измерь его сторону линейкой по сетке: получится 5, то есть 25 клеток. И 9 + 16 = 25. Попробуй катеты 6 и 8: квадраты содержат 36 и 64 клетки, всего 100, а длинная сторона равна 10.

Квадраты на сторонах прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4: два малых содержат 9 и 16 единичных квадратов, а наклонный квадрат на гипотенузе — 25.

Сторона прямоугольного треугольника против прямого угла называется гипотенузой. Она всегда самая длинная, поскольку лежит против наибольшего угла. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Замеченная при подсчёте закономерность — теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, a² + b² = c², где c — гипотенуза. OpenStax Prealgebra формулирует её именно так. Возведение в квадрат не требует изображать квадраты на чертеже: формулу можно применять к одним длинам.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

При угле 37° и гипотенузе 5 катеты около 3.009 и 3.993, близко к 3 и 4. Измени любой ползунок и возведи катеты на панели в квадрат: их сумма всегда равна квадрату гипотенузы.

Доказательство, которое можно вырезать

Подсчёт клеток подходит для 3 и 4, но доказательство должно работать для любого прямоугольного треугольника. Вырежи четыре копии любого прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c. Уложи их внутри квадрата со стороной a + b двумя способами. В первом по одному треугольнику кладётся в каждый угол так, что их гипотенузы ограничивают в середине наклонный квадрат; его площадь c². Во втором треугольники объединяются в два прямоугольника a на b, которые сдвигаются в противоположные углы; пустое место — это квадрат со стороной a и квадрат со стороной b. Большой квадрат и четыре треугольника в обеих раскладках одни и те же, поэтому и пустое место должно быть одним и тем же: c² = a² + b².

Один и тот же квадрат со стороной a + b вмещает четыре копии треугольника двумя способами. Слева свободная площадь равна c², справа — a² и b².

Тот же рисунок даёт алгебраическое доказательство. Площадь большого квадрата (a + b)² = a² + 2ab + b². На левом рисунке она состоит из наклонного квадрата и четырёх треугольников: c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2ab. Приравняй выражения и сократи 2ab: останется a² + b² = c².

КонтекстТеорема — это предложение 47 книги I «Начал» Евклида. В издании Д. Э. Джойса в примечаниях объясняется, что название «теорема Пифагора» дали Прокл и другие спустя столетия после Пифагора, который, по OpenStax, жил около 500 года до н. э. Само соотношение гораздо древнее. Вавилонские писцы около 1900–1600 годов до н. э. использовали его для решения задач, а глиняная табличка Plimpton 322 показывает, что они умели строить пифагоровы тройки. В Китае в «Чжоу би суань цзин» есть чертёж гипотенузы, вероятно добавленный комментатором Чжао Шуаном в третьем веке: четыре прямоугольника 3 на 4, расположенные вокруг квадрата 1 на 1, образуют квадрат 7 на 7, а наклонный квадрат внутри имеет площадь 49 − 4 × 6 = 25, то есть сторону 5. Джойс добавляет, что, по словам Прокла, доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.
  • Около 1900–1600 годов до н. э.: Вавилонские писцы применяют это соотношение; табличка Plimpton 322 перечисляет пифагоровы тройки.
  • 6 век до н. э.: Фалес измеряет пирамиду по тени (урок 5).
  • Около 500 года до н. э.: Пифагор живёт в греческом мире.
  • Около 2400 лет назад: Евклид доказывает теорему (предложение 47) и обратную (предложение 48).
  • 3 век н. э.: Чертёж гипотенузы Чжао Шуана в «Чжоу би суань цзин».

Обратная теорема показывает, когда угол прямой

Предложение 48 обращает теорему. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, угол между этими двумя сторонами прямой. Этим обратным утверждением пользуются строители с рулеткой: отметь 3 м вдоль одной линии стены и 4 м вдоль другой. Если расстояние между отметками ровно 5 м, угол прямой. Стороны 5, 12 и 13 работают так же, поскольку 25 + 144 = 169.

Сравнение различает и треугольники, не являющиеся прямоугольными. Пусть c — наибольшая сторона. Если c² меньше a² + b², угол напротив c меньше прямого и треугольник остроугольный. Если c² больше, угол тупой. Для сторон 6, 7, 9: 81 меньше 36 + 49 = 85, значит, треугольник остроугольный. Для сторон 5, 6, 9: 81 больше 25 + 36 = 61, значит, треугольник тупоугольный.

Лестницы, баннеры и короткие пути

Чаще всего по двум сторонам ищут третью. OpenStax ставит лестницу длиной 13 футов в 5 футах от стены: верх достигает высоты √(13² − 5²) = √144 = 12 футов. Лестница длиной 20 футов на расстоянии 6 футов достигает √(400 − 36) = √364, около 19.1 фута. Для более близкого примера сокращения пути представь площадку длиной 80 м и шириной 60 м. Путь вдоль двух краёв равен 140 м; диагональ √(6400 + 3600) = √10000 = 100 м, поэтому переход по диагонали сокращает путь на 40 м.

  1. Катеты прямоугольного треугольника 3 и 4. Найди гипотенузу.
  2. Катеты прямоугольного треугольника 5 и 12. Найди гипотенузу.
  3. Лестница длиной 13 футов стоит в 5 футах от стены. Как высоко по стене она достаёт?
  4. Лестница длиной 20 футов стоит в 6 футах от дома. Как высоко она достаёт? Округли до десятых.
  5. Гаражные ворота высотой 12 футов и шириной 16 футов. Какова длина баннера, натянутого из угла в угол?
  6. Площадка 80 м на 60 м. Сколько метров ты сэкономишь, пройдя по диагонали вместо двух краёв?
  7. Распорка длиной 10 дюймов закреплена поперёк прямого угла так, что оба её конца находятся на одинаковом расстоянии от вершины угла. На каком расстоянии от вершины находится каждый конец? Округли до десятых.
  8. Стороны 7, 24 и 25. Треугольник:
    • прямоугольный
    • остроугольный
    • тупоугольный
    • невозможный
  9. Стороны 6, 7 и 9. Треугольник:
    • остроугольный
    • прямоугольный
    • тупоугольный
    • невозможный
  10. Стороны 5, 6 и 9. Треугольник:
    • тупоугольный
    • остроугольный
    • прямоугольный
    • невозможный
  11. В чертеже «Чжоу би» четыре прямоугольника 3 на 4 окружают квадрат 1 на 1, образуя квадрат 7 на 7. Найди площадь наклонного квадрата внутри.
  12. Чтобы проверить угол по правилу 3, 4, 5, ты отмечаешь 6 м и 8 м вдоль двух линий. Какое расстояние между отметками означает, что угол прямой?
Частые ошибки
  • «Катеты 6 и 8, значит, гипотенуза 6 + 8 = 14». Складывай квадраты, а не длины: 36 + 64 = 100, гипотенуза 10. Неравенство треугольника тоже говорит, что она должна быть меньше 14.
  • «Лестница длиной 13 стоит в 5 от стены, значит, достаёт на высоту √(13² + 5²) ≈ 13.9». Лестница — гипотенуза, поэтому нужно вычитать: √(169 − 25) = 12. Катет никогда не бывает длиннее гипотенузы.
  • «5² + 6² ≠ 9², значит, теорема не работает». Теорема только о прямоугольных треугольниках. Для 5, 6, 9 сравнение 81 > 61 показывает тупоугольный треугольник: здесь работает обратная теорема.
Заметка для учителяВ корейской учебной программе 2022 года теорема Пифагора относится к средней школе. Пояснение предлагает через разные действия подвести учеников к предположению, а затем обосновать его. Обратное утверждение нужно понимать интуитивно и применять для проверки прямоугольности треугольника по трём сторонам. Программа также предлагает использовать историю теоремы для пробуждения интереса. Подсчёт квадратов на клетчатой бумаге хорошо подходит для этапа предположения. Для обоснования перестановку четырёх треугольников можно за несколько минут вырезать из картона. Ученикам, увидевшим обе расстановки рядом, редко приходится дважды объяснять алгебру.
Главное
  • Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c: a² + b² = c².
  • Доказательство: четыре копии в квадрате со стороной a + b, уложенные двумя способами.
  • Обратная теорема: если c² = a² + b², угол напротив c равен 90°.
  • c² < a² + b² — остроугольный; c² > a² + b² — тупоугольный (c — наибольшая сторона).
Источники курса (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Проверено: 2026-10-19