피타고라스 정리와 그 역

모눈종이에 직각을 낀 두 변이 3칸, 4칸인 직각삼각형을 그리고 각 변에 정사각형을 붙이면 9칸과 16칸, 가장 긴 변의 정사각형은 정확히 25칸입니다.

먼저 모눈을 세어 봅니다

모눈종이에 직각을 낀 두 변이 가로 3칸, 세로 4칸인 직각삼각형을 그립니다. 그리고 세 변마다 삼각형 바깥쪽으로 정사각형을 하나씩 붙여 그립니다. 길이 3인 변의 정사각형에는 작은 칸이 9개, 길이 4인 변의 정사각형에는 16개 들어갑니다. 비스듬한 가장 긴 변의 정사각형은 기울어져 있어 세기가 불편하지만, 모눈 눈금에 대고 한 변을 재면 5칸이니 25칸입니다. 그리고 9 + 16 = 25입니다. 두 변을 6칸, 8칸으로 바꾸어 보세요. 정사각형은 36칸과 64칸, 합해서 100칸이고, 가장 긴 변은 10칸입니다.

직각을 낀 두 변이 3, 4인 직각삼각형의 세 변에 정사각형을 붙였습니다. 작은 두 정사각형은 단위 정사각형 9개와 16개, 빗변 위의 기울어진 정사각형은 25개 크기입니다.

직각삼각형에서 직각의 대변을 빗변이라고 합니다. 가장 큰 각과 마주 보므로 언제나 가장 긴 변입니다. 앞에서 센 규칙이 피타고라스 정리입니다. 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 a, b, 빗변의 길이를 c라고 하면 a² + b² = c²입니다. 그림에 정사각형을 그리지 않아도 길이만 가지고 이 식을 쓸 수 있습니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

각을 37°, 빗변을 5로 두면 나머지 두 변이 약 3.009와 3.993, 거의 3과 4가 됩니다. 슬라이더를 아무거나 움직인 뒤 아래 칸의 두 변을 제곱해 더해 보세요. 언제나 빗변의 제곱과 같습니다.

종이로 오려 보는 증명

모눈 세기는 3과 4일 때만 보여 줄 뿐이고, 증명은 모든 직각삼각형에 들어맞아야 합니다. 직각을 낀 두 변이 a, b, 빗변이 c인 직각삼각형을 똑같이 네 장 오립니다. 이것을 한 변이 a + b인 정사각형 안에 두 가지 방법으로 배치합니다. 첫째 방법은 네 귀퉁이에 삼각형을 하나씩 넣어, 빗변 네 개가 가운데에 기울어진 정사각형을 둘러싸게 합니다. 이 정사각형의 넓이는 c²입니다. 둘째 방법은 삼각형을 두 장씩 붙여 가로 a, 세로 b인 직사각형 두 개를 만들고 마주 보는 귀퉁이로 밀어 넣습니다. 남는 자리는 한 변이 a인 정사각형과 한 변이 b인 정사각형입니다. 두 그림에서 큰 정사각형도 같고 삼각형 네 장도 같으니, 남는 자리의 넓이도 같아야 합니다. 그래서 c² = a² + b²입니다.

한 변이 a + b인 같은 정사각형에 삼각형 네 장을 두 가지로 넣었습니다. 왼쪽에서 남는 자리는 c², 오른쪽에서 남는 자리는 a²과 b²입니다.

같은 그림을 식으로 써도 증명이 됩니다. 큰 정사각형의 넓이는 (a + b)² = a² + 2ab + b²입니다. 왼쪽 그림에서 이 넓이는 기울어진 정사각형과 삼각형 네 장의 합이므로 c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2ab입니다. 둘을 같다고 놓으면 2ab가 지워지고 a² + b² = c²만 남습니다.

배경이 정리는 『원론』 제1권 명제 47입니다. 조이스판 해설에 따르면 「피타고라스 정리」라는 이름은 피타고라스보다 몇 세기 뒤에 프로클로스 등이 붙였습니다. OpenStax 교과서는 피타고라스가 기원전 500년 무렵 사람이라고 적습니다. 그런데 이 관계는 그보다 훨씬 오래되었습니다. 기원전 1900~1600년 무렵의 고대 바빌로니아 서기들이 이 관계로 문제를 풀었고, 플림프턴 322라고 부르는 점토판은 그들이 피타고라스 세 수를 만들어 낼 줄 알았음을 보여 줍니다. 중국의 『주비산경』에는 빗변 그림이 실려 있는데, 3세기 주석가 조상(趙爽)이 덧붙였을 가능성이 큽니다. 가로 3, 세로 4인 직사각형 네 개를 1 × 1 정사각형 둘레에 놓으면 7 × 7 정사각형이 되고, 안쪽의 기울어진 정사각형 넓이는 49 − 4 × 6 = 25이므로 한 변이 5입니다. 조이스는 프로클로스의 말을 빌려 『원론』의 증명은 유클리드 자신의 것이라고 적습니다.

기원전 1900~1600년경: 고대 바빌로니아 서기들이 이 관계를 쓰고, 플림프턴 322 점토판에 피타고라스 세 수가 적힙니다.
기원전 6세기: 탈레스가 그림자로 피라미드의 높이를 잽니다(5단원).
기원전 500년경: 피타고라스가 그리스 세계에서 활동합니다.
약 2,300년 전: 유클리드가 정리(명제 47)와 그 역(명제 48)을 증명합니다.
3세기: 조상이 『주비산경』에 빗변 그림을 덧붙입니다.

세 변이 맞으면 그 모서리는 직각입니다

명제 48은 정리를 거꾸로 씁니다. 삼각형에서 한 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같으면, 그 두 변 사이의 각은 직각입니다. 이것이 피타고라스 정리의 역이고, 줄자 하나로 직각을 잡는 목수들이 쓰는 방법입니다. 한 벽 선을 따라 3 m, 다른 벽 선을 따라 4 m 되는 곳에 표시하고, 두 표시 사이가 정확히 5 m이면 그 모서리는 직각입니다. 5, 12, 13도 25 + 144 = 169라서 똑같이 쓸 수 있습니다.

이 비교로 직각삼각형이 아닌 삼각형도 가릴 수 있습니다. 가장 긴 변을 c라고 합시다. c²이 a² + b²보다 작으면 c의 대각은 직각보다 작고 예각삼각형입니다. c²이 더 크면 그 각은 둔각입니다. 세 변이 6, 7, 9이면 81 < 36 + 49 = 85이므로 예각삼각형이고, 5, 6, 9이면 81 > 25 + 36 = 61이므로 둔각삼각형입니다.

사다리, 현수막, 지름길

실제로 쓰는 경우는 대부분 두 변으로 나머지 한 변을 구하는 문제입니다. OpenStax 교과서에는 길이 13피트인 사다리를 벽에서 5피트 떨어진 곳에 세우는 문제가 나옵니다. 사다리 끝은 √(13² − 5²) = √144 = 12피트 높이에 닿습니다. 20피트 사다리를 6피트 떨어뜨리면 √(400 − 36) = √364, 약 19.1피트입니다. 학교 운동장으로 바꿔 볼까요. 가로 80 m, 세로 60 m인 운동장에서 두 변을 따라 돌아가면 140 m이지만 대각선은 √(6400 + 3600) = √10000 = 100 m라서 가로지르면 40 m를 아낍니다.

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변이 3, 4입니다. 빗변의 길이는?
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변이 5, 12입니다. 빗변의 길이는?
길이 13피트인 사다리 밑을 벽에서 5피트 떨어뜨려 세웠습니다. 벽의 몇 피트 높이에 닿을까요?
20피트 사다리 밑을 집에서 6피트 떨어뜨려 세웠습니다. 몇 피트 높이에 닿을까요? 소수 첫째 자리까지 구하세요.
높이 12피트, 너비 16피트인 차고 문에 대각선으로 현수막을 걸면 길이는 몇 피트일까요?
가로 80 m, 세로 60 m인 운동장에서 두 변을 돌아가지 않고 대각선으로 가면 몇 m를 아낄까요?
길이 10인치인 버팀대를 직각 모서리에 비스듬히 대고, 양 끝이 모서리에서 같은 거리가 되게 박습니다. 그 거리를 소수 첫째 자리까지 구하면?
세 변이 7, 24, 25인 삼각형은?
- 직각삼각형
- 예각삼각형
- 둔각삼각형
- 만들 수 없다
세 변이 6, 7, 9인 삼각형은?
- 예각삼각형
- 직각삼각형
- 둔각삼각형
- 만들 수 없다
세 변이 5, 6, 9인 삼각형은?
- 둔각삼각형
- 예각삼각형
- 직각삼각형
- 만들 수 없다
『주비산경』의 그림에서 가로 3, 세로 4인 직사각형 네 개가 1 × 1 정사각형을 둘러싸 7 × 7 정사각형을 만듭니다. 안쪽 기울어진 정사각형의 넓이는?
3, 4, 5 규칙으로 모서리를 확인하려고 두 선을 따라 6 m, 8 m 지점에 표시했습니다. 두 표시 사이가 몇 m이면 직각일까요?

자주 하는 실수

「두 변이 6, 8이니 빗변은 6 + 8 = 14다.」 길이가 아니라 제곱을 더합니다. 36 + 64 = 100이므로 빗변은 10입니다. 삼각부등식으로 봐도 빗변은 14보다 짧아야 합니다.
「사다리 13, 벽에서 5: 높이는 √(13² + 5²) ≈ 13.9다.」 사다리가 빗변이므로 빼야 합니다. √(169 − 25) = 12입니다. 직각을 낀 변이 빗변보다 길 수는 없습니다.
「5² + 6² ≠ 9²이니 정리가 틀렸다.」 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립합니다. 5, 6, 9에서 81 > 61이라는 것은 이 삼각형이 둔각삼각형이라는 뜻이고, 역을 쓴 판단입니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 피타고라스 정리는 중학교 1~3학년군 [9수03-15]입니다. 성취기준 해설은 「다양한 활동을 통하여 추측하고 정당화」하게 하고, 피타고라스 정리의 역은 「직관적으로 이해하게 하고」 세 변의 길이가 주어진 삼각형이 직각삼각형인지 판별하는 데 쓰게 합니다. 수학사를 통해 피타고라스 정리에 관심을 갖게 하라는 고려 사항도 있습니다. 추측 단계에는 모눈종이에 정사각형을 그려 칸을 세는 활동이 잘 맞습니다. 정당화 단계에서는 삼각형 네 장을 두꺼운 종이로 몇 분이면 오릴 수 있고, 두 배치를 나란히 본 학생들은 식으로 다시 설명하지 않아도 대개 이해합니다.

핵심 정리

직각을 낀 두 변 a, b와 빗변 c 사이에 a² + b² = c²이 성립합니다.
증명: 한 변이 a + b인 정사각형 안에 같은 삼각형 네 장을 두 가지로 배치합니다.
역: c² = a² + b²이면 c의 대각은 90°입니다.
가장 긴 변 c에 대해 c² < a² + b²이면 예각삼각형, c² > a² + b²이면 둔각삼각형입니다.

이 과정의 출처 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

확인한 날: 2026-10-19