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Home›Geometria e disegno›Triangoli

Teorema di Pitagora, due dimostrazioni e inverso

Su carta quadrettata, un triangolo rettangolo con cateti di 3 e 4 quadretti ha quadrati di 9 e 16 sui cateti; il quadrato sul lato maggiore copre esattamente 25.

Prima conta i quadretti

Disegna su carta quadrettata un triangolo rettangolo con cateti di 3 quadretti in orizzontale e 4 in verticale. Costruisci all'esterno un quadrato su ogni lato. Quello sul lato 3 contiene 9 quadretti, quello sul lato 4 ne contiene 16. Quello sul lato obliquo è inclinato e difficile da contare, ma misurandone il lato sulla griglia ottieni 5, quindi 25 quadretti. E 9 + 16 = 25. Prova con cateti 6 e 8: quadrati 36 e 64, totale 100, lato maggiore 10.

Quadrati sui tre lati di un triangolo rettangolo con cateti 3 e 4. I due quadrati piccoli contengono 9 e 16 quadrati unitari, e il quadrato inclinato sull'ipotenusa ne contiene 25.

In un triangolo rettangolo il lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa. È sempre il lato più lungo, perché sta di fronte all'angolo maggiore. I due lati che formano l'angolo retto sono i cateti. La regolarità che hai contato è il teorema di Pitagora: in qualsiasi triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti, a² + b² = c², dove c è l'ipotenusa. OpenStax Prealgebra lo enuncia proprio in questa forma. Elevare al quadrato non significa che il disegno debba mostrare dei quadrati: puoi usare la formula sulle sole lunghezze.

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Con angolo 37° e ipotenusa 5 ottieni cateti circa 3.009 e 3.993, vicini a 3 e 4. Modifica un cursore e calcola i quadrati dei cateti nel pannello: la somma uguaglia sempre il quadrato dell'ipotenusa.

Una dimostrazione da ritagliare

Contare i quadrati funziona per 3 e 4, ma una dimostrazione deve funzionare per ogni triangolo rettangolo. Ritaglia quattro copie di un triangolo rettangolo qualsiasi con cateti a e b e ipotenusa c. Disponile dentro un quadrato di lato a + b in due modi. Nel primo, metti un triangolo in ogni angolo in modo che le loro ipotenuse racchiudano al centro un quadrato inclinato; quel quadrato ha area c². Nel secondo, accoppia i triangoli in due rettangoli a per b e spingili in angoli opposti; lo spazio vuoto è un quadrato di lato a e un quadrato di lato b. Il quadrato grande e i quattro triangoli sono gli stessi in entrambe le figure, quindi anche lo spazio vuoto deve essere lo stesso: c² = a² + b².

Lo stesso quadrato di lato a + b contiene quattro copie del triangolo in due modi. A sinistra lo spazio rimasto è c²; a destra è a² e b².

La stessa figura dà una dimostrazione algebrica. Il quadrato grande ha area (a + b)² = a² + 2ab + b². Nella figura di sinistra quell'area è il quadrato inclinato più quattro triangoli: c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2ab. Uguagliando le due espressioni il 2ab si elimina, e resta a² + b² = c².

ContestoIl teorema è la proposizione 47 del libro I degli Elementi di Euclide. Nell'edizione di D. E. Joyce, le note spiegano che il nome teorema di Pitagora fu dato da Proclo e da altri secoli dopo Pitagora, che secondo OpenStax visse intorno al 500 a.C. La relazione in sé è molto più antica. Gli scribi paleobabilonesi, intorno al 1900-1600 a.C., la usavano per risolvere problemi, e la tavoletta di argilla nota come Plimpton 322 mostra che sapevano costruire terne pitagoriche. In Cina lo Zhou bi suan jing contiene un diagramma dell'ipotenusa, probabilmente aggiunto dal commentatore Zhao Shuang nel terzo secolo: quattro rettangoli 3 per 4 disposti attorno a un quadrato 1 per 1 formano un quadrato 7 per 7, e il quadrato inclinato all'interno ha area 49 − 4 × 6 = 25, quindi il suo lato è 5. Joyce aggiunge che, secondo Proclo, la dimostrazione negli Elementi è di Euclide stesso.
  • Circa 1900–1600 a.C.: Gli scribi paleobabilonesi usano la relazione; Plimpton 322 elenca terne pitagoriche.
  • VI secolo a.C.: Talete misura una piramide dall'ombra (unità 5).
  • Circa 500 a.C.: Pitagora vive nel mondo greco.
  • Circa 2400 anni fa: Euclide dimostra il teorema (prop. 47) e l'inverso (prop. 48).
  • III secolo d.C.: Il diagramma dell'ipotenusa di Zhao Shuang nello Zhou bi suan jing.

L'inverso dice quando un angolo è retto

La proposizione 48 percorre il teorema al contrario. Se il quadrato su un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati sugli altri due, l'angolo compreso tra questi due lati è un angolo retto. Questo inverso è quello che i costruttori usano con un metro a nastro: segna 3 m lungo una linea del muro e 4 m lungo l'altra, e se i segni distano esattamente 5 m, l'angolo è retto. Lati di 5, 12 e 13 funzionano allo stesso modo, perché 25 + 144 = 169.

Il confronto classifica anche gli altri triangoli. Sia c il lato maggiore. Se c² < a² + b², l'angolo opposto è acuto e il triangolo acutangolo; se è maggiore, è ottusangolo. Con 6, 7, 9: 81 è minore di 36 + 49 = 85, quindi acutangolo. Con 5, 6, 9: 81 supera 25 + 36 = 61, quindi ottusangolo.

Scale, striscioni e scorciatoie

La maggior parte degli usi consiste nel trovare un lato a partire dagli altri due. OpenStax appoggia una scala di 13 ft a 5 ft da un muro: la cima arriva a √(13² − 5²) = √144 = 12 ft di altezza. Una scala di 20 ft a 6 ft dal muro arriva a √(400 − 36) = √364, circa 19.1 ft. Per una scorciatoia più vicina a casa, immagina un cortile lungo 80 m e largo 60 m. Girare lungo due lati sono 140 m; la diagonale è √(6400 + 3600) = √10000 = 100 m, quindi tagliare attraverso fa risparmiare 40 m.

  1. I cateti di un triangolo rettangolo misurano 3 e 4. Trova l'ipotenusa.
  2. I cateti di un triangolo rettangolo misurano 5 e 12. Trova l'ipotenusa.
  3. Una scala di 13 ft è appoggiata a 5 ft da un muro. A quale altezza sul muro arriva?
  4. Una scala di 20 ft è appoggiata a 6 ft da una casa. A quale altezza arriva, con un decimale?
  5. Una porta da garage è alta 12 ft e larga 16 ft. Quanto misura uno striscione teso in diagonale?
  6. Un cortile misura 80 m per 60 m. Quanti metri risparmi sulla diagonale rispetto a due bordi?
  7. Una staffa di 10 pollici è fissata attraverso un angolo retto, con le due estremità alla stessa distanza dal vertice dell'angolo. A quale distanza dall'angolo si trova ciascuna estremità, con un decimale?
  8. Lati 7, 24 e 25. Il triangolo è:
    • rettangolo
    • acutangolo
    • ottusangolo
    • impossibile
  9. Lati 6, 7 e 9. Il triangolo è:
    • acutangolo
    • rettangolo
    • ottusangolo
    • impossibile
  10. Lati 5, 6 e 9. Il triangolo è:
    • ottusangolo
    • acutangolo
    • rettangolo
    • impossibile
  11. Nel diagramma Zhou bi quattro rettangoli 3 per 4 circondano un quadrato 1 per 1 formando un quadrato 7 per 7. Qual è l'area del quadrato inclinato interno?
  12. Per verificare un angolo con la regola 3, 4, 5 segni 6 m e 8 m sulle due rette. Quale distanza tra i segni indica un angolo retto?
Errori comuni
  • «I cateti sono 6 e 8, quindi ipotenusa 6 + 8 = 14.» Somma i quadrati, non le lunghezze: 36 + 64 = 100, quindi ipotenusa 10. La disuguaglianza triangolare richiede comunque meno di 14.
  • «Scala lunga 13 a distanza 5: altezza √(13² + 5²) ≈ 13.9.» La scala è l'ipotenusa: devi sottrarre, √(169 − 25) = 12. Un cateto non può superare l'ipotenusa.
  • «5² + 6² ≠ 9², quindi il teorema non funziona.» Il teorema riguarda solo triangoli rettangoli. Per 5, 6, 9 la disuguaglianza 81 > 61 rivela un ottusangolo: stai applicando il ragionamento inverso.
Nota per l'insegnanteNel curricolo coreano del 2022 il teorema di Pitagora appartiene alla fascia della scuola media. La spiegazione chiede agli insegnanti di far formulare agli studenti una congettura attraverso attività varie e poi di farla giustificare, mentre l'inverso va compreso intuitivamente e usato per decidere se tre lati dati formano un triangolo rettangolo. Il curricolo suggerisce anche di usare la sua storia per suscitare interesse. Contare i quadrati su carta quadrettata si adatta bene alla fase della congettura. Per la giustificazione, la disposizione dei quattro triangoli si può ritagliare dal cartoncino in pochi minuti, e gli studenti che vedono le due disposizioni affiancate raramente hanno bisogno che l'algebra venga spiegata due volte.
Punti chiave
  • Triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c: a² + b² = c².
  • Dimostrazione: quattro copie in un quadrato di lato a + b, in due disposizioni.
  • Inverso: se c² = a² + b², l'angolo opposto a c è 90°.
  • c² < a² + b²: acutangolo; c² > a² + b²: ottusangolo (c lato maggiore).
Fonti di questo corso (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Consultato il: 2026-10-19