Area del triangolo e formula di Erone

Un triangolo con lati di 13, 14 e 15 m ha un'area di esattamente 84 m², e a questo numero si arriva per due strade piuttosto diverse.

Un terreno di cui conosci solo i lati

Ecco il problema. Un piccolo terreno triangolare d'angolo va seminato a prato. I suoi tre bordi, misurati con un metro, sono 13 m, 14 m e 15 m. La confezione di semi indica quanti metri quadrati copre. Quanti metri quadrati misura il terreno? Sai che l'area di un triangolo è metà del prodotto di base e altezza, ma nessuno ha misurato un'altezza, e tendere un metro in linea retta da un bordo al vertice opposto esattamente a 90° è più difficile di quanto sembri. Prova a trovare l'area prima di continuare a leggere. Un metodo usa soltanto ciò che hai visto nelle unità precedenti.

Un metodo passa per il teorema di Pitagora. Prendi il lato di 14 m come base e traccia l'altezza h dal vertice opposto. Essa divide la base in due parti, diciamo x e 14 − x, e forma due triangoli rettangoli. Dal triangolo di sinistra, h² = 13² − x². Da quello di destra, h² = 15² − (14 − x)². Uguagliali: 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², quindi 28x = 140 e x = 5. Allora h² = 169 − 25 = 144 e h = 12. L'area è 14 × 12 ÷ 2 = 84 m². I due triangoli rettangoli sono 5, 12, 13 e 9, 12, 15, entrambi con lati di lunghezza intera.

Perché metà base per altezza

OpenStax Prealgebra parte da un rettangolo di base b e altezza h, area b × h, e lo taglia lungo una diagonale in due triangoli identici, ciascuno con area pari a metà di bh. Questo risolve i triangoli rettangoli. Per qualsiasi altro triangolo, disegna attorno ad esso il rettangolo con la stessa base e la stessa altezza. Il triangolo ne occupa la metà, perché i due pezzi avanzati sono copie dei due triangoli rettangoli che compongono il triangolo stesso. In entrambi i casi A = ½ × b × h. L'altezza si misura ad angolo retto rispetto alla base scelta, dalla retta della base al vertice opposto, e ogni lato può fare da base se usi la sua altezza.

In un triangolo ottusangolo l'altezza può cadere all'esterno del triangolo, come a destra nella figura. Non è un errore. Prolunga la retta della base, conduci dal vertice opposto la perpendicolare alla retta prolungata e usa quella lunghezza come h. La formula funziona ancora, perché il triangolo è la differenza tra un triangolo rettangolo grande e uno più piccolo con la stessa altezza.

Una conseguenza vale la pena di conoscerla. I triangoli con la stessa base e la stessa altezza hanno la stessa area, per quanto siano inclinati. Fai scorrere il vertice superiore lungo una retta parallela alla base e l'area non cambia. Euclide usa questa idea nella sua dimostrazione del teorema di Pitagora, dove un parallelogramma è il doppio di un triangolo sulla stessa base tra le stesse parallele.

La formula di Erone richiede soltanto i tre lati

La seconda strada non richiede alcuna altezza. OpenStax Precalculus dà la formula di Erone per un triangolo con lati a, b e c. Per prima cosa trova s, metà del perimetro: s = (a + b + c) ÷ 2. Poi Area = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Per 13, 14 e 15, s = 42 ÷ 2 = 21, e l'area è √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Stessa risposta, senza altezza. Per l'esempio del libro stesso, lati 10, 15 e 7, s = 16 e l'area è √(16 × 6 × 1 × 9) = √864, circa 29.4 unità quadrate.

Un controllo rapido di qualsiasi formula è darle in pasto un caso che già conosci. Per il triangolo rettangolo 3, 4, 5, s = 6 e √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6, che è esattamente 3 × 4 ÷ 2. Per 5, 5, 8, s = 9 e √(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12; l'altezza sul lato di 8 è 3, perché 3² + 4² = 5², e 8 × 3 ÷ 2 = 12. Nota anche che cosa succede con lati che violano la disuguaglianza triangolare, come 3, 4, 7: s = 7, un fattore s − c è 0 e l'area è 0. La formula è d'accordo con l'unità 3.