Площадь треугольника и формула Герона

При сторонах 13, 14 и 15 м площадь ровно 84 м²; получить её можно двумя разными способами.

Участок, известный только по трём сторонам

Вот задача. Небольшой треугольный участок в углу нужно засеять травой. Его стороны, измеренные рулеткой, равны 13 м, 14 м и 15 м. На пакете семян указано, сколько квадратных метров покрывает один пакет. Какова площадь участка в квадратных метрах? Ты знаешь, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, но высоту никто не измерял, а протянуть рулетку от одной стороны до противоположной вершины точно под углом 90° сложнее, чем кажется. Попробуй найти площадь, прежде чем читать дальше. Один способ использует только материал прежних уроков.

Один путь проходит через теорему Пифагора. Возьми сторону 14 м за основание и опусти высоту h из противоположной вершины. Она делит основание на две части, скажем x и 14 − x, и создаёт два прямоугольных треугольника. Из левого h² = 13² − x². Из правого h² = 15² − (14 − x)². Приравняй: 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², поэтому 28x = 140 и x = 5. Тогда h² = 169 − 25 = 144 и h = 12. Площадь равна 14 × 12 ÷ 2 = 84 м². Оба прямоугольных треугольника, 5, 12, 13 и 9, 12, 15, имеют целые стороны.

Почему площадь равна половине произведения основания на высоту

OpenStax Prealgebra начинает с прямоугольника с основанием b и высотой h, площадь которого b × h, и разрезает его по диагонали на два одинаковых треугольника, у каждого площадь равна половине bh. Так решается случай прямоугольного треугольника. Для любого другого треугольника построй вокруг него прямоугольник с теми же основанием и высотой. Треугольник занимает половину этого прямоугольника, потому что два оставшихся куска — копии двух прямоугольных треугольников, из которых составлен сам треугольник. В любом случае A = ½ × b × h. Высота измеряется под прямым углом к выбранному основанию, от прямой основания до противоположной вершины, и любую сторону можно взять за основание, если использовать её собственную высоту.

В тупоугольном треугольнике высота может проходить снаружи, как справа на рисунке. Это не ошибка. Продолжи прямую основания, опусти перпендикуляр из противоположной вершины на продолжение и возьми его длину за h. Формула остаётся верной: треугольник получается вычитанием меньшего прямоугольного треугольника из большего с той же высотой.

Стоит знать одно следствие. Треугольники с одинаковыми основанием и высотой имеют одинаковую площадь при любом наклоне. Двигай верхнюю вершину по прямой, параллельной основанию, и площадь не изменится. Евклид использует эту идею в своём доказательстве теоремы Пифагора, где параллелограмм вдвое больше треугольника на том же основании между теми же параллельными прямыми.

Формуле Герона достаточно трёх сторон

Второй путь вообще не требует высоты. OpenStax Precalculus приводит формулу Герона для треугольника со сторонами a, b и c. Сначала найди s, половину периметра: s = (a + b + c) ÷ 2. Затем площадь = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Для 13, 14 и 15 получаем s = 42 ÷ 2 = 21, а площадь √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Тот же ответ без высоты. В примере самой книги со сторонами 10, 15 и 7 имеем s = 16 и площадь √(16 × 6 × 1 × 9) = √864, около 29.4 квадратной единицы.

Быстрая проверка любой формулы — подставить уже известный случай. Для прямоугольного треугольника 3, 4, 5 получаем s = 6 и √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6, в точности 3 × 4 ÷ 2. Для 5, 5, 8 имеем s = 9 и √(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12; высота к стороне 8 равна 3, поскольку 3² + 4² = 5², и 8 × 3 ÷ 2 = 12. Заметь, что происходит при нарушении строгого неравенства треугольника, например со сторонами 3, 4, 7: s = 7, один множитель s − c равен 0, площадь тоже 0. Формула согласуется с уроком 3.