edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Геометрия и чертежи

Треугольники

Семь уроков о треугольниках: виды по сторонам и углам, сумма углов 180° и внешний угол, допустимые длины сторон, признаки равенства и почему двух сторон и неприлежащего угла недостаточно, подобие и масштаб, теорема Пифагора с двумя доказательствами и обратной теоремой, площадь по основанию и высоте или по трём сторонам по формуле Герона. Перетаскивай вершины в лаборатории тригонометрии и наблюдай за числами.

Прогресс

О курсе

Оторви три угла любого бумажного треугольника и сложи их вершинами вместе. Они образуют развёрнутый угол, 180°, каким бы ни был треугольник. Это сумма углов, первый факт курса. Тригонометрическая лаборатория округляет каждый угол до 0.1°, поэтому сумма округлённых значений может отличаться на 0.1. Но точная сумма в строке суммы равна 180°.

Семь уроков: виды треугольников по сторонам и углам; сумма углов и внешний угол; какие три длины образуют треугольник; равные треугольники (SSS, SAS, ASA и почему SSA недостаточно); подобные треугольники и масштаб; теорема Пифагора, два доказательства и обратная теорема; площадь треугольника и формула Герона. Две фигуры подобны, когда одна является увеличенной или уменьшенной копией другой. Поэтому соответствующие углы равны, а соответствующие стороны имеют одно и то же отношение, называемое коэффициентом подобия. На клетчатой бумаге у прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 клетки квадраты на катетах занимают 9 и 16 клеток, а квадрат на самой длинной стороне занимает ровно 25.

Последний урок находит площадь двумя способами. Для второго высота совсем не нужна. По сторонам a, b и c найди s, половину периметра, затем вычисли площадь: √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Для сторон 13, 14 и 15 получаем s = 42 ÷ 2 = 21 и площадь √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Перетаскивай вершины треугольника в тригонометрической лаборатории и следи за числами.

Перед началом

Сложение углов, сравнение длин и работа с отношениями помогают в этих примерах. Курс Углы готовит к рассуждениям с развёрнутыми углами и параллельными прямыми. В лаборатории треугольников можно двигать вершины и сравнивать измерения, но уроки спрашивают и о том, почему правило верно, а не только что показывает экран.

Когда закончишь

Ты сможешь классифицировать треугольники по сторонам и углам, находить неизвестные углы и проверять, образуют ли три длины треугольник. Ты применишь признаки равенства, объяснишь недостаточность SSA и вычислишь высоту по подобным треугольникам. Ты используешь теорему Пифагора и найдёшь площадь по основанию и высоте или формуле Герона.

  1. 1Виды треугольников по сторонам и угламТреугольник со сторонами 5, 5 и 8 см одновременно равнобедренный и тупоугольный. Первое название описывает стороны, второе — наибольший угол, около 106°.
  2. 2Сумма углов и внешний уголОторви три угла бумажного треугольника и совмести вершины. Вместе они образуют развёрнутый угол 180°, независимо от формы.
  3. 3Какие три длины образуют треугольникПалочки 3 см, 4 см и 8 см не соединить в треугольник. Короткие вместе дают лишь 3 + 4 = 7 см, на сантиметр меньше длинной.
  4. 4Равные треугольники: SSS, SAS, ASA и почему SSA недостаточноДва треугольника могут иметь угол 30° и стороны 10 и 6, но отличаться: третья сторона около 11.98 в одном и около 5.34 в другом.
  5. 5Подобные треугольники и масштабУченик ростом 1.6 м отбрасывает тень 2 м, а школьный флагшток — 15 м. Высота флагштока 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 м, и взбираться на него не пришлось.
  6. 6Теорема Пифагора, два доказательства и обратная теоремаНа клетчатой бумаге у прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 клетки квадраты на катетах содержат 9 и 16 клеток, а на наибольшей стороне ровно 25.
  7. 7Площадь треугольника и формула ГеронаПри сторонах 13, 14 и 15 м площадь ровно 84 м²; получить её можно двумя разными способами.

Похожие курсы

  • Углы
    Пять уроков об углах: как измерять их транспортиром, как называются их виды, какие пары дают в сумме 90° и 180°, восемь углов там, где прямая пересекает две параллельные прямые, и суммы углов треугольников и многоугольников. В тригонометрической лаборатории на каждой странице есть транспортир, пара параллельных прямых и треугольник, вершины которого можно перетаскивать.
  • Площадь поверхности и объём тел
    Коробка хлопьев, консервная банка, рожок мороженого и мяч: для каждого есть формула, сколько картона уйдёт на оболочку и сколько поместится внутрь. Разверни каждое тело в 3D, меняй размеры ползунками и смотри, как меняются числа.
  • Окружности и круги
    Шесть уроков: элементы окружности и поиск центра, π и длина окружности с оценками Архимеда по многоугольникам, площадь круга из переложенных секторов, длина дуги и площадь сектора как доли от 360°, центральные и вписанные углы с углом в полуокружности, а также касательные: радиус перпендикулярен касательной, и две касательные из одной точки равны. Двигай точку по окружности, разворачивай цилиндр, развёртывай конус и щёлкай по секторам круговой диаграммы.
  • Тригонометрия
    Шесть уроков тригонометрии прямоугольного треугольника и единичной окружности. Ты назовёшь стороны прямоугольного треугольника, определишь синус, косинус и тангенс как отношения, выучишь точные значения для 30°, 45° и 60°, научишься решать треугольник по одной стороне и одному углу, измерять высоты, до которых не дотянуться, перейдёшь к радианам и единичной окружности и построишь синусоиду. В тригонометрической лаборатории есть прямоугольный треугольник с изменяемым размером, полигон для измерения высот и единичная окружность, связанная со своим графиком.
Источники курса (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Проверено: 2026-10-19