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Triangoli

Sette unità sui triangoli: classificazione per lati e angoli, somma degli angoli di 180° e angolo esterno, quali tre lunghezze formano un triangolo, criteri di congruenza e perché lato-lato-angolo non basta, triangoli simili e scala, teorema di Pitagora con due dimostrazioni e inverso, area da base e altezza o dai tre lati con la formula di Erone. Trascina i vertici nel laboratorio di trigonometria e osserva i valori.

Progressi

Informazioni sul corso

Strappa i tre angoli da un triangolo di carta qualsiasi e accostali facendo coincidere i vertici. Formano un angolo piatto, 180°, qualunque fosse il triangolo iniziale. È la somma degli angoli, il primo fatto del corso. Il laboratorio di trigonometria arrotonda ogni angolo a 0.1°: i tre valori arrotondati possono quindi differire dalla somma di 0.1, ma il valore esatto mostrato sulla riga Somma è 180°.

Le sette unità trattano i tipi di triangolo, la somma degli angoli e l'angolo esterno, quali tre lunghezze formano un triangolo, i triangoli congruenti (SSS, SAS, ASA e perché SSA non basta), i triangoli simili e la scala, il teorema di Pitagora con due dimostrazioni e il suo inverso e l'area con la formula di Erone. Due figure sono simili quando una è un ingrandimento o una riduzione dell'altra: gli angoli corrispondenti sono uguali e i lati corrispondenti hanno tutti lo stesso rapporto, detto fattore di scala. Sulla carta a quadretti, un triangolo rettangolo con cateti di 3 e 4 quadretti ha sui cateti quadrati di 9 e 16 quadretti; il quadrato sul lato più lungo ne copre esattamente 25.

L'ultima unità trova l'area in due modi. Il secondo non richiede affatto l'altezza: dati i lati a, b e c, calcola s, metà del perimetro, poi Area = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Per 13, 14 e 15, s = 42 ÷ 2 = 21 e l'area è √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Trascina i vertici di un triangolo nel laboratorio di trigonometria e osserva i valori cambiare.

Prima di iniziare

Sommare angoli, confrontare lunghezze e usare rapporti aiuta in questi esempi. Angoli prepara ai ragionamenti su angoli piatti e rette parallele. Nel laboratorio dei triangoli puoi muovere vertici e confrontare misure, ma le lezioni chiedono anche perché vale una regola, non solo cosa mostra lo schermo.

Alla fine

Saprai classificare triangoli per lati e angoli, trovare angoli mancanti e verificare se tre lunghezze formano un triangolo. Potrai usare i criteri di congruenza, spiegare perché SSA non basta e calcolare un’altezza con triangoli simili. Saprai applicare il teorema di Pitagora e trovare aree con base e altezza o con la formula di Erone.

  1. 1Tipi di triangoli secondo lati e angoliUn triangolo con lati di 5, 5 e 8 cm è sia isoscele sia ottusangolo. Il primo nome riguarda i lati, il secondo l'angolo maggiore, circa 106°.
  2. 2Somma degli angoli e angolo esternoStrappa i tre angoli di un triangolo di carta e accostali con i vertici coincidenti. Formano un angolo piatto di 180°, qualunque sia il triangolo.
  3. 3Quali tre lunghezze formano un triangoloBastoncini di 3 cm, 4 cm e 8 cm non formano un triangolo. I due corti arrivano solo a 3 + 4 = 7 cm, un centimetro meno del lungo.
  4. 4Triangoli congruenti: SSS, SAS, ASA e perché SSA non bastaDue triangoli possono avere un angolo di 30° e lati di 10 e 6, ma essere diversi: il terzo lato misura circa 11.98 in uno e 5.34 nell'altro.
  5. 5Triangoli simili e scalaUn alunno alto 1.6 m proietta un'ombra di 2 m, l'asta della bandiera una di 15 m. L'asta è alta 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m, senza salirci.
  6. 6Teorema di Pitagora, due dimostrazioni e inversoSu carta quadrettata, un triangolo rettangolo con cateti di 3 e 4 quadretti ha quadrati di 9 e 16 sui cateti; il quadrato sul lato maggiore copre esattamente 25.
  7. 7Area del triangolo e formula di EroneUn triangolo con lati di 13, 14 e 15 m ha un'area di esattamente 84 m², e a questo numero si arriva per due strade piuttosto diverse.

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Fonti di questo corso (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Consultato il: 2026-10-19