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Triangles

Sept unités sur les triangles : classement selon les côtés et les angles, somme de 180° et angle extérieur, longueurs qui permettent de former un triangle, cas d'égalité et échec de côté-côté-angle, triangles semblables et échelle, théorème de Pythagore avec deux démonstrations et sa réciproque, puis aire à partir de la base et de la hauteur ou des trois côtés avec la formule de Héron. Déplace les sommets dans le laboratoire de trigonométrie et regarde les nombres changer.

Progression

À propos de ce cours

Déchire les trois coins d'un triangle en papier et place leurs sommets côte à côte. Ils forment un angle plat, soit 180°, quel que soit le triangle de départ. C'est la somme des angles, premier résultat du cours. Le laboratoire de trigonométrie arrondit chaque angle à 0.1° près : les trois valeurs arrondies peuvent donc présenter un écart de 0.1, mais la somme exacte affichée sur la ligne Somme est de 180°.

Les sept unités portent sur les types de triangles, la somme des angles et l'angle extérieur, les trois longueurs qui peuvent former un triangle, les triangles égaux (CCC, CAC, ACA et pourquoi CCA ne suffit pas), les triangles semblables et l'échelle, le théorème de Pythagore avec deux démonstrations et sa réciproque, et l'aire avec la formule de Héron. Deux figures sont semblables lorsque l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre : les angles correspondants sont donc égaux et les côtés correspondants sont tous dans le même rapport, appelé rapport de similitude. Sur du papier quadrillé, un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4 carreaux porte des carrés d'aires 9 et 16 sur ces côtés, et le carré construit sur son côté le plus long couvre exactement 25 carreaux.

La dernière unité calcule l'aire de deux façons. La seconde méthode n'a besoin d'aucune hauteur : pour des côtés a, b et c, calcule s, la moitié du périmètre, puis Aire = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Pour 13, 14 et 15, s = 42 ÷ 2 = 21, et l'aire vaut √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Déplace les sommets d'un triangle dans le laboratoire de trigonométrie et observe les valeurs changer.

Avant de commencer

Additionner des angles, comparer des longueurs et utiliser des rapports aide pour ces exemples. Angles prépare aux raisonnements sur l’angle plat et les parallèles. Dans le laboratoire de triangles, tu peux déplacer les sommets et comparer les mesures, mais les leçons demandent aussi pourquoi une règle tient, pas seulement ce que l’écran montre.

À la fin du cours

Tu pourras classer les triangles selon leurs côtés et angles, trouver des angles manquants et vérifier si trois longueurs forment un triangle. Tu sauras utiliser les critères de congruence, expliquer pourquoi SSA ne suffit pas et calculer une hauteur avec des triangles semblables. Tu pourras appliquer Pythagore et calculer une aire par base et hauteur ou avec la formule de Héron.

  1. 1Types de triangles selon les côtés et les anglesUn triangle de côtés 5, 5 et 8 cm est à la fois isocèle et obtusangle. Le premier nom vient de ses côtés, le second de son plus grand angle, environ 106°.
  2. 2La somme des angles et l'angle extérieurDéchire les trois coins d'un triangle en papier et rassemble leurs pointes. Ils forment une ligne droite, 180°, quel que soit le triangle de départ.
  3. 3Quelles trois longueurs forment un triangleDes baguettes de 3 cm, 4 cm et 8 cm ne peuvent pas former un triangle. Les deux courtes atteignent seulement 3 + 4 = 7 cm, un centimètre de moins que la longue.
  4. 4Triangles égaux : SSS, SAS, ASA et pourquoi SSA échoueDeux triangles peuvent avoir un angle de 30°, un côté de 10 et un de 6 sans être identiques : le troisième mesure environ 11.98 dans l'un et 5.34 dans l'autre.
  5. 5Triangles semblables et échelleUn élève de 1.6 m projette une ombre de 2 m ; le mât de l'école en projette une de 15 m. Il mesure 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m, sans avoir à y grimper.
  6. 6Le théorème de Pythagore, deux démonstrations et la réciproqueSur papier quadrillé, un triangle rectangle de côtés de l'angle droit de 3 et 4 carreaux porte des carrés de 9 et 16 sur ces côtés ; celui de l'hypoténuse couvre exactement 25.
  7. 7Aire du triangle et formule de HéronUn triangle de côtés 13, 14 et 15 m a une aire d'exactement 84 m², que tu peux obtenir par deux voies très différentes.

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    Six chapitres de trigonométrie dans le triangle rectangle et sur le cercle trigonométrique. Tu nommes les côtés d'un triangle rectangle, tu définis le sinus, le cosinus et la tangente comme des rapports, tu apprends les valeurs exactes pour 30°, 45° et 60°, tu résous des triangles à partir d'un côté et d'un angle, tu mesures des hauteurs inaccessibles, tu passes aux radians et au cercle trigonométrique, et tu traces la sinusoïde. Le laboratoire de trigonométrie contient un triangle rectangle redimensionnable, un terrain pour mesurer des hauteurs et un cercle trigonométrique relié à son graphique.
Sources de ce cours (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Consulté le: 2026-10-19