Triangles égaux : SSS, SAS, ASA et pourquoi SSA échoue

Deux triangles peuvent avoir un angle de 30°, un côté de 10 et un de 6 sans être identiques : le troisième mesure environ 11.98 dans l'un et 5.34 dans l'autre.

Trois éléments correspondants quelconques suffisent-ils à rendre deux triangles égaux ?

Un triangle a six mesures, trois côtés et trois angles. Tout vérifier pour établir l'égalité est fastidieux ; on cherche donc des raccourcis : trois éléments bien choisis qui imposent les trois autres. On croit souvent que n'importe lesquels suffisent. C'est raisonnable en apparence, mais faux de deux façons. Trois angles égaux ne fixent pas la taille, et deux côtés avec un angle qui n'est pas entre eux ne fixent pas toujours la forme. Ici, tu examineras ces échecs et les conditions qui fonctionnent.

D'abord, le sens de triangles égaux. Selon OpenStax, ils le sont si tu peux en poser un sur l'autre et les faire coïncider, en le tournant ou le retournant si besoin. Côtés correspondants et angles correspondants sont alors égaux. La correspondance compte. Écrire △ABC ≡ △DEF indique A avec D, B avec E et C avec F ; donc AB = DE, BC = EF, CA = FD, angle A = angle D, etc. Les manuels coréens utilisent ≡ ; OpenStax et beaucoup de livres anglais écrivent ≅ pour la même idée.

Des angles égaux fixent la forme, pas la taille

Prends une équerre de 30°, 60°, 90° et un immense triangle de 30°, 60°, 90° tracé à la craie dans la cour. Tous les angles coïncident, mais personne ne les dirait identiques. Angle-angle-angle ne fixe que la forme. Ces triangles sont semblables, comme tu le verras ensuite, mais pas égaux. Pour fixer la taille, il faut au moins une longueur dans la condition.

Deux côtés et un angle qui n'est pas entre eux

Voici l'échec plus subtil. Fixe A à 30°, AB à 10 unités et demande BC = 6. Fais tourner BC autour de B comme une branche de compas. Sa pointe peut atteindre la droite de base à deux endroits. Un triangle a AC d'environ 11.98 et des angles d'environ 30°, 93.6° et 56.4°. L'autre a AC d'environ 5.34 et des angles d'environ 30°, 26.4° et 123.6°. Tous deux ont un angle de 30°, un côté de 10 et un de 6, mais sont différents. Côté-côté-angle, quand l'angle n'est pas compris entre les côtés, n'est donc pas un cas d'égalité.

Un cas particulier fonctionne : si le côté opposé à l'angle donné est au moins aussi long que l'autre côté donné, la branche n'atteint qu'une fois le bon côté et le triangle est déterminé. L'angle droit est l'exemple connu : quand l'angle vaut 90°, le côté opposé est l'hypoténuse, le plus long ; un triangle rectangle est donc déterminé par son hypoténuse et un côté de l'angle droit. Hors de ces cas, deux côtés et un angle non compris ne suffisent pas.

Trois conditions qui fonctionnent

Trois combinaisons déterminent entièrement un triangle. Trois côtés (SSS) : si les trois côtés de l'un égalent ceux qui leur correspondent dans l'autre, les triangles sont égaux. Deux côtés et l'angle entre eux (SAS) : l'angle compris fixe leur position et impose le troisième côté. Deux angles et le côté entre eux (ASA). Deux angles et un autre côté suffisent aussi : la somme donne le troisième angle, et le côté se retrouve entre deux angles connus. OpenStax appelle ce dernier cas AAS. Remarque le motif dans SAS et ASA : l'angle ou le côté donné se trouve entre les deux autres, pas à l'écart.

Utiliser SAS pour démontrer l'égalité des angles à la base

Voici la première démonstration classique. Dans l'isocèle ABC, suppose AB = AC. Trace la bissectrice de A et nomme D son intersection avec BC. Compare ABD et ACD. AB = AC par hypothèse. Angle BAD = angle CAD car AD partage A en deux. AD est commun. Deux côtés et l'angle compris correspondent ; par SAS, les triangles sont égaux, donc les angles correspondants B et C aussi. Plier un isocèle en papier le long de la bissectrice montre la même chose ; la démonstration explique pourquoi cela coïncide toujours.