Triángulos congruentes: SSS, SAS, ASA y por qué falla SSA

Dos triángulos pueden tener un ángulo de 30°, un lado de 10 y otro de 6 y aun así ser distintos: el tercer lado mide aproximadamente 11.98 en uno y 5.34 en el otro.

¿Basta con que coincidan tres elementos cualesquiera para que dos triángulos sean congruentes?

Un triángulo tiene seis medidas: tres lados y tres ángulos. Comprobar las seis para demostrar que dos son idénticos resulta tedioso, así que en geometría buscamos atajos: tres elementos bien elegidos que determinen los otros tres. Es común creer que sirve cualquier terna. Parece razonable, pero falla en dos casos. Tres ángulos iguales no fijan el tamaño, y dos lados con un ángulo que no está entre ellos no siempre fijan la forma. Aquí examinarás ambos fallos y los criterios que sí funcionan.

Primero, qué significa congruente. Según OpenStax, dos triángulos son congruentes si puedes tomar uno y colocarlo sobre el otro de modo que coincidan, girándolo o volteándolo si hace falta. Entonces los lados correspondientes son iguales y los ángulos correspondientes también. La correspondencia importa. Escribir △ABC ≡ △DEF indica que A corresponde a D, B a E y C a F, así que AB = DE, BC = EF, CA = FD y ángulo A = ángulo D, etc. Los libros coreanos usan ≡; OpenStax y muchos libros en inglés escriben ≅ para la misma idea.

Los ángulos iguales fijan la forma, pero no el tamaño

Toma una escuadra de 30°, 60°, 90° y un triángulo enorme de 30°, 60°, 90° dibujado con tiza en el patio. Los tres ángulos coinciden, pero nadie los llamaría idénticos. Ángulo-ángulo-ángulo solo determina la forma. Esos dos triángulos son semejantes, como estudiarás en la siguiente unidad, pero no congruentes. Para fijar el tamaño, el criterio debe incluir al menos una longitud.

Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos

Ahora, el fallo menos evidente. Fija el ángulo A en 30°, haz que AB mida 10 unidades y pide que BC mida 6. Gira BC alrededor de B como el brazo de un compás. Su punta puede llegar a la recta de la base en dos puntos, como ves en la figura. Un triángulo tiene un tercer lado AC de unos 11.98 y ángulos de unos 30°, 93.6° y 56.4°. El otro tiene AC de unos 5.34 y ángulos de unos 30°, 26.4° y 123.6°. Ambos tienen un ángulo de 30°, un lado de 10 y otro de 6, pero son claramente distintos. Por tanto, lado-lado-ángulo, con el ángulo no comprendido entre los lados, no es un criterio de congruencia.

Hay un caso que sí funciona. Si el lado opuesto al ángulo dado es al menos tan largo como el otro lado dado, el brazo solo puede llegar una vez al lado correcto y el triángulo queda determinado. El ángulo recto es el ejemplo más conocido: cuando el ángulo dado es 90°, el lado opuesto es la hipotenusa, el más largo, así que un triángulo rectángulo queda determinado por su hipotenusa y un cateto. Fuera de estos casos, dos lados y un ángulo no comprendido no bastan.

Tres criterios que sí funcionan

Tres combinaciones determinan por completo un triángulo. Tres lados (SSS): si los tres lados de uno son iguales a los correspondientes del otro, son congruentes. Dos lados y el ángulo comprendido (SAS): ese ángulo fija la posición de ambos lados y determina el tercero. Dos ángulos y el lado comprendido (ASA). Dos ángulos y otro lado también bastan, porque con la suma de ángulos ya conoces el tercero y el lado queda entre dos ángulos conocidos. OpenStax presenta este último por separado como AAS. Observa el patrón en SAS y ASA: el ángulo o lado dado está entre los otros dos, no fuera de ellos.

Usar SAS para demostrar que los ángulos de la base son iguales

Esta es la primera demostración clásica. En el triángulo isósceles ABC, supón AB = AC. Traza la bisectriz del ángulo A y llama D a su intersección con BC. Compara los triángulos ABD y ACD. AB = AC por hipótesis. Ángulo BAD = ángulo CAD porque AD biseca el ángulo A. Y AD es un lado compartido. Coinciden dos lados y el ángulo comprendido, así que por SAS los triángulos son congruentes y los ángulos correspondientes B y C son iguales. Doblar un triángulo isósceles de papel por esa bisectriz muestra lo mismo; al demostrarlo entiendes por qué siempre coincide al doblar.