삼각형의 합동 조건과 두 변과 한 각의 함정

두 삼각형이 30°인 각 하나와 길이 10, 6인 두 변을 똑같이 가져도 서로 다를 수 있습니다. 셋째 변이 한쪽은 약 11.98, 다른 쪽은 약 5.34입니다.

세 군데만 같으면 합동일까

삼각형에는 재야 할 것이 여섯 가지 있습니다. 세 변과 세 각입니다. 두 삼각형이 똑같다는 것을 보이려고 여섯 가지를 모두 재는 것은 번거로우니, 기하에서는 지름길을 찾습니다. 잘 고른 세 가지만 같으면 나머지 세 가지도 저절로 같아지는 조합입니다. 그런데 아무 세 가지나 같으면 된다고 생각하는 사람이 많습니다. 그럴듯하지만 두 군데서 틀립니다. 세 각이 같아도 크기는 정해지지 않고, 두 변과 그 사이에 있지 않은 한 각이 같아도 모양이 정해지지 않을 때가 있습니다. 두 실패를 하나씩 뜯어보면, 남는 것이 제대로 된 합동 조건입니다.

먼저 합동이 무엇인지부터 봅시다. 한 도형을 옮기거나 돌리거나 뒤집어서 다른 도형에 완전히 포갤 수 있으면 두 도형은 합동입니다. 포개었을 때 겹치는 점, 변, 각을 대응점, 대응변, 대응각이라 하고, 합동인 두 도형은 대응변의 길이와 대응각의 크기가 서로 같습니다. 대응하는 순서가 중요합니다. △ABC ≡ △DEF라고 쓰면 A와 D, B와 E, C와 F가 대응한다는 약속이라서 AB = DE, BC = EF, CA = FD이고 ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F입니다. 우리나라에서는 기호 ≡를 쓰고, OpenStax를 비롯한 영어권 책들은 같은 뜻으로 ≅를 씁니다.

세 각이 같으면 모양은 같지만 크기는 다를 수 있습니다

30°, 60°, 90° 삼각자와 운동장에 분필로 크게 그린 30°, 60°, 90° 삼각형을 떠올려 보세요. 세 각이 모두 같지만 둘이 똑같다고 할 사람은 없습니다. 세 각은 모양만 정해 줄 뿐입니다. 두 삼각형은 다음 단원에서 배우는 닮음이지 합동은 아닙니다. 크기까지 정하려면 조건에 길이가 적어도 하나 들어가야 합니다.

두 변과 그 사이에 있지 않은 각

이제 덜 눈에 띄는 실패입니다. ∠A를 30°로 정하고, 변 AB를 10으로 그린 다음, 변 BC가 6이 되게 하라고 해 봅시다. 컴퍼스로 B를 중심으로 반지름 6인 원을 그리면, 그림처럼 원이 밑변이 놓인 직선과 두 점에서 만납니다. 한 삼각형은 셋째 변 AC가 약 11.98이고 세 각이 약 30°, 93.6°, 56.4°입니다. 다른 삼각형은 AC가 약 5.34이고 세 각이 약 30°, 26.4°, 123.6°입니다. 둘 다 30°인 각, 길이 10인 변, 길이 6인 변을 가졌지만 분명히 다른 삼각형입니다. 그러니 두 변과 그 사이에 끼지 않은 한 각이 같다는 것은 합동 조건이 아닙니다.

∠A = 30°, AB = 10입니다. B를 중심으로 하는 반지름 6인 원이 밑변이 놓인 직선과 C₁, C₂에서 만나므로, △ABC₁(주황 변)과 △ABC₂(파란 삼각형)가 같은 세 조건을 모두 만족합니다.

한 경우에는 이 조건이 살아납니다. 주어진 각의 대변이 주어진 다른 변보다 길거나 같으면, 컴퍼스 원이 알맞은 쪽에서 한 번만 만나서 삼각형이 하나로 정해집니다. 가장 잘 알려진 예가 직각입니다. 주어진 각이 90°이면 그 대변은 가장 긴 빗변이므로, 직각삼각형은 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이만으로 하나로 정해집니다. 이런 경우가 아니면 두 변과 그 사이에 있지 않은 각만으로는 부족합니다.

제대로 된 합동 조건은 세 가지입니다

삼각형을 완전히 정해 주는 조합은 셋입니다. 첫째, 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때입니다. 둘째, 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때입니다. 끼인각이 두 변의 방향을 고정하므로 셋째 변이 저절로 정해집니다. 셋째, 대응하는 한 변의 길이가 같고 그 양 끝 각의 크기가 각각 같을 때입니다. 두 각과 다른 한 변이 같을 때도 합동인데, 내각의 합으로 셋째 각이 바로 나오므로 결국 셋째 조건과 같아집니다. OpenStax는 이것을 AAS라는 이름으로 따로 적습니다. 영어 머리글자로는 앞의 셋을 SSS, SAS, ASA라고 부릅니다. SAS와 ASA에는 공통점이 있습니다. 주어진 각은 두 변 사이에, 주어진 변은 두 각 사이에 끼어 있습니다.

SSS 합동	대응하는 세 변의 길이가 각각 같음
SAS 합동	두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 같음
ASA 합동	한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 같음
SSA	일반적으로 합동 조건이 아님: 삼각형이 두 개 생길 수 있음
AAA	모양만 같음: 닮음이지 합동은 아님

배경조이스판 『원론』의 제1권 명제 26 해설은 유클리드의 합동 정리를 정리해 둡니다. 두 변과 끼인각은 명제 4, 세 변은 명제 8, 한 변과 두 각은 명제 26입니다. 조이스는 이것들을 「합동 정리」라고 부르는 것이 사실 요즘 습관이라고 덧붙입니다. 유클리드는 합동이라는 이름의 개념을 직접 쓰지 않았습니다. 또 『원론』에는 두 변과 끼이지 않은 각에 관한 정리가 없고, 그 특별한 경우인 「두 변과 직각」만 제3권 명제 14의 증명 안에 잠깐 나온다고 적습니다.

SAS로 이등변삼각형의 두 밑각이 같음을 증명합니다

처음 배우는 증명으로 많이 쓰는 예입니다. 이등변삼각형 ABC에서 AB = AC라고 합시다. ∠A의 이등분선을 그어 BC와 만나는 점을 D라고 합니다. 이제 △ABD와 △ACD를 비교합니다. AB = AC는 처음부터 주어졌습니다. AD가 ∠A를 이등분하므로 ∠BAD = ∠CAD입니다. AD는 두 삼각형에 공통인 변입니다. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 같으므로 △ABD ≡ △ACD(SAS 합동)이고, 대응각인 ∠B와 ∠C는 크기가 같습니다. 종이 이등변삼각형을 이 이등분선을 따라 접어 봐도 두 밑각이 겹치는데, 증명은 왜 언제나 그렇게 겹치는지를 설명해 줍니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

꼭짓점 C가 위에 있는 이등변삼각형입니다. A와 B의 두 각이 같습니다. C를 옆으로 끌면 두 각이 달라지고, AB 한가운데 위로 되돌리면 다시 같아집니다.

일반적으로 합동을 보장하지 못하는 조건은?
- 두 변과 그 사이에 있지 않은 한 각
- 세 변
- 두 변과 그 끼인각
- 두 각과 그 사이의 변
두 삼각형의 세 각이 모두 40°, 60°, 80°입니다. 두 삼각형은?
- 닮음이지만 합동이라고 할 수는 없다
- 언제나 합동이다
- 닮음이 될 수 없다
- 직각삼각형이다
AB = DE, BC = EF, CA = FD입니다. △ABC ≡ △DEF임을 보이는 조건은?
- SSS
- SAS
- ASA
- 없음
AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF입니다. 어떤 조건일까요?
- SAS
- SSA
- ASA
- SSS
∠A = ∠D, AB = DE, ∠B = ∠E입니다. 어떤 조건일까요?
- ASA
- SAS
- SSS
- AAA
△ABC ≡ △DEF이고 AB = 7 cm입니다. DE의 길이는?
△PQR ≡ △XYZ, ∠P = 50°, ∠Q = 70°입니다. ∠Z의 크기는?
SSA 예에서 ∠A = 30°, AB = 10, BC = 6입니다. 가능한 AC 가운데 긴 쪽의 길이를 소수 둘째 자리까지 구하면?
AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC와 D에서 만납니다. △ABD ≡ △ACD임을 보이는 조건은?
- SAS
- SSA
- AAA
- ASA
빗변이 13, 한 변이 5인 직각삼각형과, 빗변과 그 변이 같은 다른 직각삼각형은 합동일까요?
- 그렇다
- 아니다
- 나머지 한 변도 주어져야 한다
- 둘 다 이등변일 때만

자주 하는 실수

「두 변과 한 각이 같으니 합동이다.」 그 각이 두 변의 끼인각일 때만 그렇습니다. 끼인각이 아니면 컴퍼스로 그린 원이 밑변이 놓인 직선을 두 번 지날 수 있어서, 30°, 10, 6 예처럼 다른 삼각형이 두 개 생깁니다.
「△ABC ≡ △DEF이니 AB = EF이다.」 글자 순서가 곧바로 대응입니다. A는 D, B는 E와 대응하므로 AB의 대응변은 EF가 아니라 DE입니다. 같은 부분을 읽기 전에 대응을 먼저 적어 두세요.
「세 각이 모두 같으니 합동이다.」 세 각이 같으면 모양은 같지만 크기는 얼마든지 다를 수 있습니다. 삼각자와 운동장에 그린 삼각형도 세 각이 같을 수 있습니다. 이런 관계는 닮음입니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 합동은 초등학교 5~6학년군 [6수03-01]에서 대응점, 대응변, 대응각과 함께 처음 나옵니다. 삼각형의 합동 조건은 중학교 1~3학년군 [9수03-04]에서, 주어진 조건으로 삼각형을 작도하는 [9수03-03] 바로 다음에 배웁니다. [9수03-09]는 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하게 하며, 이때 「증명」이라는 용어를 도입합니다. 두 변과 끼이지 않은 각의 경우는 성취기준에 없지만, 끼인각이어야 하는 까닭을 보여 주는 데 이만한 예가 없습니다. ∠A = 30°, AB = 10, BC = 6인 삼각형을 컴퍼스로 작도하게 해 보세요. 지시대로 그렸는데 서로 다른 삼각형을 든 학생이 둘 나오면, 조건을 정확히 따져야 하는 까닭이 저절로 보입니다.

핵심 정리

합동: 한 도형을 다른 도형에 완전히 포갤 수 있고, 대응변과 대응각이 각각 같습니다.
합동 조건: 세 변(SSS), 두 변과 끼인각(SAS), 한 변과 양 끝 각(ASA).
두 변과 끼이지 않은 각은 일반적으로 합동 조건이 아니고, 세 각은 닮음만 보장합니다.
△ABC ≡ △DEF의 글자 순서가 대응을 알려 줍니다.

이 과정의 출처 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

확인한 날: 2026-10-19