Triângulos congruentes: SSS, SAS, ASA e por que SSA falha

Dois triângulos podem ter um ângulo de 30°, um lado de 10 e outro de 6 e ainda ser diferentes: o terceiro lado mede cerca de 11.98 num e 5.34 no outro.

Três elementos correspondentes quaisquer bastam para tornar dois triângulos congruentes?

Um triângulo tem seis medidas: três lados e três ângulos. Conferir todas para mostrar que dois são idênticos é trabalhoso, então buscamos atalhos: três elementos bem escolhidos que determinem os outros três. É comum acreditar que quaisquer três servem. Parece razoável, mas falha de duas formas. Três ângulos iguais não fixam o tamanho; dois lados e um ângulo que não está entre eles nem sempre fixam a forma. Aqui você examinará as duas falhas e os casos que funcionam.

Primeiro, o que significa congruente. Segundo a OpenStax, dois triângulos são congruentes se você puder colocar um sobre o outro de modo que coincidam, girando ou virando se necessário. Os lados correspondentes são iguais, assim como os ângulos correspondentes. A correspondência importa. Escrever △ABC ≡ △DEF indica A com D, B com E e C com F: AB = DE, BC = EF, CA = FD, ângulo A = ângulo D e assim por diante. Os livros coreanos usam ≡; a OpenStax e muitos livros em inglês usam ≅ para a mesma ideia.

Ângulos iguais fixam a forma, mas não o tamanho

Pegue um esquadro de 30°, 60°, 90° e um triângulo gigante de 30°, 60°, 90° desenhado com giz no pátio. Todos os ângulos coincidem, mas ninguém diria que são idênticos. Ângulo-ângulo-ângulo só determina a forma. Eles são semelhantes, como você verá na próxima unidade, mas não congruentes. Para fixar o tamanho, o caso precisa incluir pelo menos um comprimento.

Dois lados e um ângulo que não está entre eles

Agora, a falha mais sutil. Fixe A em 30°, faça AB medir 10 unidades e peça que BC meça 6. Gire BC em torno de B como a haste de um compasso. Sua ponta pode chegar à reta da base em dois lugares, como na figura. Um triângulo tem AC de cerca de 11.98 e ângulos de cerca de 30°, 93.6° e 56.4°. O outro tem AC de cerca de 5.34 e ângulos de cerca de 30°, 26.4° e 123.6°. Ambos têm um ângulo de 30°, um lado de 10 e outro de 6, mas são claramente diferentes. Portanto, lado-lado-ângulo, com o ângulo não compreendido entre os dois lados, não é um caso de congruência.

Há um caso que funciona. Se o lado oposto ao ângulo dado for pelo menos tão longo quanto o outro lado dado, a haste só chega uma vez ao lado correto, e o triângulo fica determinado. O ângulo reto é o exemplo mais conhecido: quando o ângulo dado é 90°, o lado oposto é a hipotenusa, o maior lado; assim, hipotenusa e um cateto determinam um triângulo retângulo. Fora desses casos, dois lados e um ângulo não compreendido não bastam.

Três casos que funcionam

Três combinações determinam completamente um triângulo. Três lados (SSS): se todos os lados de um são iguais aos correspondentes do outro, os triângulos são congruentes. Dois lados e o ângulo entre eles (SAS): o ângulo compreendido fixa a posição dos lados e determina o terceiro. Dois ângulos e o lado entre eles (ASA). Dois ângulos e outro lado também funcionam: a soma dos ângulos dá o terceiro, e o lado acaba entre dois ângulos conhecidos. A OpenStax lista esse último separadamente como AAS. Observe o padrão em SAS e ASA: o ângulo ou lado dado fica entre os outros dois, nunca de fora.

Usando SAS para demonstrar que os ângulos da base são iguais

Esta é a primeira demonstração clássica. No isósceles ABC, seja AB = AC. Trace a bissetriz de A e chame de D o encontro com BC. Compare ABD e ACD. AB = AC por hipótese. Ângulo BAD = ângulo CAD porque AD divide A ao meio. E AD é lado comum. Dois lados e o ângulo compreendido coincidem, então por SAS os triângulos são congruentes e os ângulos correspondentes B e C são iguais. Dobrar um isósceles de papel pela bissetriz mostra o mesmo; a demonstração explica por que o encaixe sempre funciona.