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Início›Geometria e desenho

Triângulos

Sete unidades sobre triângulos: classificação por lados e ângulos, soma dos ângulos de 180° e ângulo externo, quais três comprimentos formam um triângulo, casos de congruência e por que lado-lado-ângulo falha, triângulos semelhantes e escala, teorema de Pitágoras com duas demonstrações e sua recíproca, e área pela base e altura ou pelos três lados com a fórmula de Heron. Arraste os vértices de um triângulo no laboratório de trigonometria e veja os números mudarem.

Progresso

Sobre este curso

Arranque os três cantos de qualquer triângulo de papel e junte-os ponta com ponta. Eles formam uma linha reta, 180°, seja qual for o triângulo de que você partiu. Essa é a soma dos ângulos, e é o primeiro fato do curso. O laboratório de trigonometria arredonda cada ângulo para 0.1°, então os três números arredondados podem errar por 0.1, mas a soma exata mostrada na linha Soma é 180°.

As sete unidades são tipos de triângulos, a soma dos ângulos e o ângulo externo, quais três comprimentos formam um triângulo, triângulos congruentes (LLL, LAL, ALA e por que LLA falha), triângulos semelhantes e escala, o teorema de Pitágoras com duas demonstrações e a recíproca, e a área com a fórmula de Herão. Duas figuras são semelhantes quando uma é ampliação ou redução da outra, de modo que ângulos correspondentes são iguais e lados correspondentes têm todos a mesma razão, chamada fator de escala. Em papel quadriculado, um triângulo retângulo com catetos de 3 e 4 quadrados tem quadrados de 9 e 16 sobre os catetos, e o quadrado sobre o lado maior cobre exatamente 25.

A última unidade calcula a área de duas maneiras. O segundo caminho não precisa de altura alguma: para lados a, b e c, ache s, o semiperímetro, e então Área = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Para 13, 14 e 15, s = 42 ÷ 2 = 21, e a área é √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Arraste os vértices de um triângulo no laboratório de trigonometria e veja os números mudarem.

Antes de começar

Somar ângulos, comparar comprimentos e trabalhar com razões ajuda nestes exemplos. Ângulos prepara você para os argumentos com ângulos rasos e retas paralelas. No laboratório de triângulos, você pode mover vértices e comparar medidas, mas as aulas também perguntam por que uma regra vale, não só o que aparece na tela.

Ao terminar

Você vai poder classificar triângulos por lados e ângulos, encontrar ângulos desconhecidos e verificar se três comprimentos formam um triângulo. Vai usar critérios de congruência, explicar por que LLA não basta e calcular uma altura com triângulos semelhantes. Poderá aplicar o teorema de Pitágoras e calcular áreas pela base e altura ou pela fórmula de Heron.

  1. 1Tipos de triângulos pelos lados e ângulosUm triângulo de lados 5, 5 e 8 cm é isósceles e obtusângulo ao mesmo tempo. O primeiro nome vem dos lados; o segundo, do maior ângulo, de cerca de 106°.
  2. 2A soma dos ângulos e o ângulo externoRasgue as três pontas de qualquer triângulo de papel e junte seus vértices. Elas formam uma linha reta, 180°, qualquer que seja o triângulo inicial.
  3. 3Quais três comprimentos formam um triânguloVaretas de 3 cm, 4 cm e 8 cm não fecham um triângulo. As duas curtas alcançam apenas 3 + 4 = 7 cm, um centímetro a menos que a longa.
  4. 4Triângulos congruentes: SSS, SAS, ASA e por que SSA falhaDois triângulos podem ter um ângulo de 30°, um lado de 10 e outro de 6 e ainda ser diferentes: o terceiro lado mede cerca de 11.98 num e 5.34 no outro.
  5. 5Triângulos semelhantes e escalaUm estudante de 1.6 m projeta uma sombra de 2 m enquanto o mastro da escola projeta uma de 15 m. O mastro mede 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m, sem ninguém precisar subir.
  6. 6O teorema de Pitágoras, duas demonstrações e a recíprocaNo papel quadriculado, um triângulo retângulo com catetos de 3 e 4 quadradinhos tem quadrados de 9 e 16 sobre os catetos; o quadrado sobre o maior lado cobre exatamente 25.
  7. 7Área do triângulo e fórmula de HeronUm triângulo de lados 13, 14 e 15 m tem área de exatamente 84 m², e você pode chegar a esse número por dois caminhos bem diferentes.

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Fontes deste curso (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Data de verificação: 2026-10-19