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Início›Geometria e desenho

Circunferências

Seis unidades: partes da circunferência e como achar seu centro, pi e comprimento com os limites poligonais de Arquimedes, área do círculo pela reorganização de setores, comprimento de arco e área de setor como frações de 360°, ângulos centrais e inscritos e o ângulo numa semicircunferência, e tangentes, com raio perpendicular à tangente e tangentes de um mesmo ponto iguais. Arraste um ponto pela circunferência, abra a lateral de um cilindro, planifique um cone e clique nas fatias de um gráfico de setores.

Progresso

Sobre este curso

A definição de círculo de Euclides, Livro I, Definição 15 na edição de D. E. Joyce, descreve uma figura plana limitada por uma linha tal que todas as retas que caem sobre ela a partir de um ponto interior são iguais. As notas de Joyce apontam duas diferenças em relação a hoje. Para Euclides o círculo é a região plana, e a linha curva é a circunferência. E Euclides nem tinha uma palavra separada para raio: ele escrevia “a reta do centro”. A palavra inglesa centre vem de uma palavra grega que também significa aguilhão ou atiçador, uma referência à perna fixa e pontuda do compasso.

As seis unidades começam pelas partes de um círculo, em que duas cordas num prato têm mediatrizes que se cruzam em exatamente um ponto, o centro. Vêm depois pi e a circunferência, com Arquimedes prendendo pi entre 3 10/71 e 3 1/7. O MacTutor registra que William Jones foi o primeiro a usar π no sentido atual, em 1706, e que Zu Chongzhi (430 a 501) deu 355/113, correto até a sexta casa decimal. A área do círculo compara uma pizza de 30 cm com uma de 20 cm: 1.5 vez mais larga, 2.25 vezes mais para comer. Comprimento de arco e área de setor usam um ponteiro de minutos de 10 cm, que em 20 minutos varre 120°. Ângulos centrais e inscritos incluem a Proposição 31 do Livro III de Euclides, segundo a qual o ângulo num semicírculo mede 90°. A última unidade mostra que, de um ponto a 13 cm do centro de um círculo de raio 5 cm, as duas tangentes medem exatamente 12 cm. Nos laboratórios você arrasta um ponto ao redor de um círculo, desenrola um cilindro, desdobra um cone e clica nas fatias de um gráfico de pizza.

Antes de começar

Frações de uma volta completa ajudam a calcular comprimentos de arcos e áreas de setores. Ângulos também ajuda nos argumentos sobre ângulos centrais, inscritos e tangentes. A primeira aula identifica as partes de uma circunferência, para você distinguir raio, diâmetro, corda e tangente antes de usar fórmulas.

Ao terminar

Você vai poder achar o centro de uma circunferência a partir de cordas, distinguir raio e diâmetro e calcular comprimento e área. Vai usar uma fração de 360° para achar o comprimento de um arco ou a área de um setor, relacionar ângulos centrais e inscritos, reconhecer o ângulo reto em uma semicircunferência e usar tangentes iguais a partir do mesmo ponto externo.

  1. 1Partes da circunferência: raio, diâmetro, corda, arco, setor e tangenteDesenhe duas cordas quaisquer num prato redondo. As retas perpendiculares que dividem cada corda ao meio se cruzam num único ponto: o centro.
  2. 2Pi e o comprimento da circunferênciaDê uma volta de barbante num objeto circular: o comprimento será pouco mais de três diâmetros. Arquimedes situou esse “pouco mais” entre 3 10/71 e 3 1/7.
  3. 3Área do círculo: por que é πr²Uma pizza de diâmetro 30 cm é 1.5 vezes mais larga que uma de 20 cm, mas tem 2.25 vezes a quantidade de comida.
  4. 4Comprimento de arco e área de setorEm 20 minutos, a ponta de um ponteiro de minutos de 10 cm varre 120°, um terço do mostrador, e percorre cerca de 20.9 cm.
  5. 5Ângulos centrais e inscritosUna qualquer ponto da circunferência às duas pontas de um diâmetro: o ângulo nesse ponto mede exatamente 90°. Euclides demonstrou isso na proposição 31 do livro III.
  6. 6Tangentes: o ângulo reto no ponto de contato e os comprimentos iguais das tangentesDe um ponto a 13 cm do centro de uma circunferência de raio 5 cm, os dois segmentos tangentes medem exatamente 12 cm.

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Fontes deste curso (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
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  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Data de verificação: 2026-10-19