edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Meetkunde en tekeningen

Cirkels

Zes hoofdstukken over cirkels: onderdelen en middelpunt vinden, pi en omtrek met Archimedes’ veelhoekgrenzen, oppervlakte door herschikte sectoren, booglengte en sectoroppervlakte als delen van 360°, middelpuntshoeken en omtrekshoeken met de hoek in een halve cirkel, en raaklijnen: loodrecht op de straal en vanuit één punt even lang. Versleep een punt over een cirkel, rol een cilinder uit, vouw een kegel open en klik op cirkeldiagramsectoren.

Voortgang

Over deze cursus

Euclides definieert een cirkel in boek I, definitie 15 van de editie van D. E. Joyce, als een vlakke figuur begrensd door één lijn, waarbij alle rechte lijnen vanuit één punt binnenin naar die grens gelijk zijn. Joyce noemt twee verschillen met nu. Voor Euclides is de cirkel het vlakke gebied en de gebogen lijn de omtrek. Bovendien had hij geen apart woord voor straal: hij schreef ‘de lijn vanuit het middelpunt’. Het Engelse centre komt van een Grieks woord dat ook prikker of pook betekent, naar de vaste puntige poot van de passer.

De zes hoofdstukken beginnen met de onderdelen van een cirkel. De middelloodlijnen van twee koorden op een bord kruisen in precies één punt: het middelpunt. Daarna volgen pi en de omtrek, waarbij Archimedes pi tussen 3 10/71 en 3 1/7 vastlegt. Volgens MacTutor gebruikte William Jones in 1706 als eerste π in de huidige betekenis. Zu Chongzhi (430 tot 501) gaf 355/113, juist tot zes decimalen. Bij oppervlakte vergelijk je een pizza van 30 cm met een van 20 cm: 1.5 keer zo breed geeft 2.25 keer zoveel eten. Bij booglengte en sectoroppervlakte veegt een grote wijzer van 10 cm in 20 minuten een hoek van 120°. Bij middelpuntshoeken en omtrekshoeken hoort Euclides' boek III, stelling 31: een hoek in een halve cirkel is 90°. In het laatste hoofdstuk zijn vanuit een punt op 13 cm van het middelpunt van een cirkel met straal 5 cm beide raaklijnen precies 12 cm lang. In de labs versleep je een punt langs een cirkel, rol je een cilinder uit, vouw je een kegel open en klik je op sectoren van een cirkeldiagram.

Voor je begint

Breuken van een volledige omwenteling helpen bij het berekenen van booglengten en sectoroppervlakten. Hoeken helpt ook bij de redeneringen over middelpuntshoeken, omtrekshoeken en raaklijnen. In de eerste les leer je de onderdelen van een cirkel herkennen. Zo houd je straal, middellijn, koorde en raaklijn uit elkaar voordat je formules gebruikt.

Als je klaar bent

Je vindt het middelpunt van een cirkel met behulp van koorden, onderscheidt straal van middellijn en berekent omtrek en oppervlakte. Je gebruikt een deel van 360° om een booglengte of sectoroppervlakte te vinden, legt het verband tussen middelpunts- en omtrekshoeken, herkent de rechte hoek in een halve cirkel en gebruikt de gelijke raaklijnstukken vanuit hetzelfde punt buiten de cirkel.

  1. 1Cirkelonderdelen: straal, diameter, koorde, boog, sector en raaklijnTeken twee willekeurige koorden op een rond bord. De lijnen die elke koorde loodrecht doormidden delen, snijden elkaar in precies één punt. Dat punt is het middelpunt.
  2. 2Pi en de cirkelomtrekWikkel een draad één keer om een rond voorwerp. De draad is dan iets langer dan drie diameters. Archimedes legde dat ‘iets langer’ vast tussen 3 10/71 en 3 1/7.
  3. 3Cirkeloppervlakte: waarom πr²Een pizza van 30 cm is 1.5 keer zo breed als een pizza van 20 cm, maar bevat 2.25 keer zoveel eten.
  4. 4Booglengte en sectoroppervlakteIn 20 minuten bestrijkt de punt van een minutenwijzer van 10 cm een hoek van 120°, een derde van de wijzerplaat, en legt hij ongeveer 20.9 cm af.
  5. 5Middelpuntshoeken en omtrekshoekenVerbind een willekeurig punt op een cirkel met beide uiteinden van een diameter. De hoek bij dat punt is precies 90°. Euclides bewijst dit in Boek III, Propositie 31.
  6. 6Raaklijnen: de rechte hoek bij het raakpunt en gelijke raaklijnstukkenVanuit een punt dat 13 cm van het middelpunt van een cirkel met straal 5 cm ligt, zijn beide raaklijnen precies 12 cm lang.

Verwante cursussen

  • Hoeken
    Vijf hoofdstukken over hoeken: meten met een gradenboog, de soorten benoemen, de paren die samen 90° en 180° zijn, de acht hoeken waar een lijn twee evenwijdige lijnen snijdt, en de hoekensom van driehoeken en veelhoeken. Het goniometrielab op elke pagina heeft een gradenboog, twee evenwijdige lijnen en een driehoek waarvan je de hoekpunten kunt verslepen.
  • Driehoeken
    Zeven hoofdstukken over driehoeken: indelen naar zijden en hoeken, de hoekensom van 180° en de buitenhoek, welke drie lengtes een driehoek vormen, congruentievoorwaarden en waarom zijde-zijde-hoek niet werkt, gelijkvormigheid en schaal, de stelling van Pythagoras met twee bewijzen en haar omgekeerde, en oppervlakte uit basis en hoogte of drie zijden met de formule van Heron. Versleep de hoekpunten in het trigonometriepracticum en zie de getallen veranderen.
  • Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke lichamen
    Een ontbijtgranendoos, een blik, een ijshoorntje en een bal hebben elk een formule voor hoeveel karton ze omhult en hoeveel ze kunnen bevatten. Vouw elk lichaam in 3D uit, verander de afmetingen met schuifknoppen en bekijk hoe de getallen veranderen.
  • Goniometrie
    Zes hoofdstukken over goniometrie in rechthoekige driehoeken en op de eenheidscirkel. Je benoemt de zijden van een rechthoekige driehoek, definieert sinus, cosinus en tangens als verhoudingen, leert de exacte waarden voor 30°, 45° en 60°, berekent driehoeken met één zijde en één hoek, meet onbereikbare hoogten, schakelt over op radialen en de eenheidscirkel en tekent de sinusgolf. In het goniometrielab kun je een rechthoekige driehoek vergroten of verkleinen, hoogten meten en een eenheidscirkel met de bijbehorende grafiek bekijken.
Bronnen van deze cursus (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Geraadpleegd: 2026-10-19