Pi en de cirkelomtrek
Wikkel een draad één keer om een rond voorwerp. De draad is dan iets langer dan drie diameters. Archimedes legde dat ‘iets langer’ vast tussen 3 10/71 en 3 1/7.
Meet drie ronde dingen
Pak een mok, een bord en een drankblikje. Wikkel bij elk een strook papier één keer om de rand en markeer waar de strook zichzelf overlapt. Leg de strook vervolgens plat en meet hem. Die lengte is de omtrek: de afstand rondom de cirkel. Meet daarna de diameter recht over de bovenkant, door het midden. Stel dat de mok 8 cm breed is en een omtrek van 25.1 cm heeft, en het bord 24 cm breed is met een omtrek van 75.4 cm. Deel de afstand rondom door de breedte. Voor de mok is dat 25.1 ÷ 8 = 3.1375. Voor het bord is het 75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417. Het bord is drie keer zo breed als de mok, maar de twee uitkomsten komen tot op twee decimalen overeen.
Dat quotiënt is voor elke cirkel hetzelfde, klein of groot. Het heeft een naam: pi, geschreven als π. OpenStax geeft π = 3.141592654…, de verhouding tussen de omtrek en de diameter. Omdat die verhouding nooit verandert, volgen er meteen twee formules uit. De omtrek is C = πd en, omdat d = 2r, ook C = 2πr. Een cirkel met een diameter van 10 cm heeft een omtrek van 10π ≈ 31.4 cm. Je eigen metingen leveren nooit precies π op. Papier rekt uit, randen hebben een dikte en een liniaal geeft alleen millimeters aan. Met meten vind je de eerste twee cijfers. Voor meer cijfers heb je een redenering nodig.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
π inklemmen tussen twee veelhoeken
Archimedes van Syracuse vond een manier om π tussen grenzen te vangen zonder iets te meten. Teken een regelmatige zeshoek binnen een cirkel, met alle zes hoekpunten op de cirkel. De zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken die in het middelpunt samenkomen. Elke zijde is dus even lang als de straal en de omtrek is 6r = 3d. De cirkel bolt buiten elke zijde uit, dus zijn omtrek is langer dan 3d: π > 3. Teken nu een vierkant om de cirkel dat deze op vier punten raakt. De zijde is gelijk aan de diameter, dus de omtrek is 4d. De cirkel past erin: π < 4.
Door het aantal zijden te verdubbelen, komen beide grenzen dichterbij. Voor een cirkel met diameter 1 geeft OpenStax deze omtrekken: bij 8 zijden tussen 3.0615 en 3.3137, bij 16 tussen 3.1214 en 3.1826 en bij 64 tussen 3.1403 en 3.1441. Archimedes begon met zeshoeken en verdubbelde vier keer, naar 12, 24, 48 en 96 zijden. Hij had geen decimalen of goniometrie en berekende de vierkantswortels met de hand als breuken. Zijn conclusie was dat π tussen 3 10/71 en 3 1/7 ligt, oftewel 3.1408 < π < 3.1429. Een rekenmachine geeft voor de omtrekken met 96 zijden 3.14103 en 3.14271. Zijn twee breuken liggen daar net buiten, zodat beide ongelijkheden waar blijven.
| Zijden | Binnenomtrek | Buitenomtrek |
|---|---|---|
| 4 | 2.8284 | 4.0000 |
| 6 | 3.0000 | 3.4641 |
| 8 | 3.0615 | 3.3137 |
| 12 | 3.1058 | 3.2154 |
| 16 | 3.1214 | 3.1826 |
| 24 | 3.1326 | 3.1597 |
| 32 | 3.1365 | 3.1517 |
| 48 | 3.1394 | 3.1461 |
| 64 | 3.1403 | 3.1441 |
| 96 | 3.1410 | 3.1427 |
Eén meter draad erbij
Hier is een vraag waarbij de formule het van je intuïtie wint. Wikkel een draad strak om een bal, voeg precies 1 m aan de lengte toe en til de draad overal even ver van het oppervlak. Hoe groot is de opening? De nieuwe omtrek is C + 1, dus de nieuwe straal is (C + 1) ÷ 2π. Dat is de oude straal plus 1 ÷ 2π, ongeveer 0.159 m. De opening is dus ongeveer 15.9 cm. De grootte van de bal komt nergens in de berekening voor. Het antwoord is daarom hetzelfde voor een tennisbal als voor een bal zo groot als de aarde.
C = πd = 2πr. π ≈ 3.14. Archimedes: 3 10/71 < π < 3 1/7.
- Een cirkel heeft diameter 10 cm. Bepaal de omtrek (gebruik 3.14 voor π).
- Een cirkel heeft straal 3 cm. Bepaal de omtrek (gebruik 3.14 voor π).
- Een cirkel heeft omtrek 47.1 cm. Bepaal de diameter (gebruik 3.14 voor π).
- Een cirkel heeft omtrek 62.8 cm. Bepaal de straal (gebruik 3.14 voor π).
- Een wiel met een diameter van 0.7 m draait 100 keer rond zonder te slippen. Hoeveel meter rolt het? (gebruik 3.14 voor π)
- Een regelmatige zeshoek heeft zijn hoekpunten op een cirkel. De omtrek is gelijk aan:
- 3 diameters
- 2 diameters
- 4 diameters
- π diameters
- Welke uitspraak is waar?
- 3 10/71 < π < 3 1/7
- π = 22/7 exact
- π = 3.14 exact
- π < 3
- Waarom geeft de veelhoek binnen de cirkel een ondergrens voor π?
- elke zijde snijdt een boog af
- hij heeft minder zijden dan de cirkel
- zijn hoekpunten liggen buiten de cirkel
- zijn zijden zijn langer dan de straal
- Een draad rond een bal wordt 1 m langer gemaakt en gelijkmatig opgetild. Hoeveel centimeter is de opening ongeveer? (op één decimaal)
- Omtrek ÷ diameter bij een cirkel met straal 100, vergeleken met een cirkel met straal 1:
- gelijk
- 100 keer groter
- 100 keer kleiner
- 10 keer groter
- Om een cirkel met diameter 5 cm is een vierkant getekend. Wat is de omtrek van het vierkant?
- ‘π is 22/7.’ 22/7 = 3.142857… maar π = 3.141592…. Archimedes gaf 22/7 als bovengrens, niet als de waarde van π zelf.
- ‘C = πr.’ π vergelijkt de omtrek met de diameter, niet met de straal: C = πd = 2πr. Een snelle controle: de omtrek moet groter zijn dan 3 diameters, terwijl πr maar ongeveer 1.57 diameters is.
- ‘Mijn blikje gaf 3.05, dus π verschilt bij kleine cirkels.’ Bij kleine voorwerpen zijn meetfouten naar verhouding groter. Eén millimeter meetfout bij een blikje van 6 cm verandert het quotiënt al in het tweede cijfer. De verhouding zelf is voor elke cirkel gelijk.
- Omtrek ÷ diameter is voor elke cirkel hetzelfde: π = 3.14159…
- C = πd = 2πr. Gebruik 3.14 of de π-toets.
- Een ingeschreven zeshoek geeft π > 3; een vierkant om de cirkel geeft π < 4.
- Archimedes, met veelhoeken van 96 zijden: 3 10/71 < π < 3 1/7.
Bronnen van deze cursus (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
Geraadpleegd: 2026-10-19