Pi dan keliling lingkaran

Lilitkan benang satu kali pada benda berbentuk lingkaran apa pun dan panjangnya sedikit lebih dari tiga kali diameter. Archimedes membatasi “sedikit lebih” itu di antara 3 10/71 dan 3 1/7.

Ukur tiga benda bulat

Cari sebuah cangkir, piring, dan kaleng minuman. Untuk masing-masing benda, lilitkan sehelai kertas sekali mengelilingi tepinya, tandai bagian yang bertumpuk, lalu bentangkan kertas dan ukur panjangnya. Panjang itu adalah keliling, yaitu jarak mengitari lingkaran. Selanjutnya, ukur diameter melintasi bagian atas melalui tengah. Misalkan cangkir memiliki diameter 8 cm dan keliling 25.1 cm, sedangkan piring memiliki diameter 24 cm dan keliling 75.4 cm. Bagilah jarak mengitari benda dengan jarak melintasinya. Untuk cangkir, 25.1 ÷ 8 = 3.1375. Untuk piring, 75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417. Lebar piring tiga kali lebar cangkir, tetapi kedua hasil baginya sama hingga dua tempat desimal.

Hasil bagi itu sama untuk setiap lingkaran, kecil maupun besar, dan memiliki nama: pi, ditulis π. OpenStax memberikan nilainya sebagai π = 3.141592654…, yaitu perbandingan keliling terhadap diameter. Karena perbandingan ini tidak pernah berubah, langsung diperoleh dua rumus. Keliling adalah C = πd, dan karena d = 2r, juga C = 2πr. Lingkaran berdiameter 10 cm memiliki keliling 10π ≈ 31.4 cm. Pengukuranmu sendiri tidak akan pernah menghasilkan π secara tepat. Kertas meregang, tepi benda memiliki ketebalan, dan penggaris hanya menunjukkan milimeter. Pengukuran memberikan dua angka pertama. Untuk mendapatkan lebih banyak angka, kamu memerlukan penalaran.

Memuat model 3D

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Sebuah tabung berjari-jari 2 cm. Tekan Buka jaring-jaring: sisi lengkungnya terbuka menjadi persegi panjang. Sisi panjangnya dahulu melilit tutup, jadi panjangnya sama dengan keliling tutup, 2πr ≈ 12.57 cm ketika r = 2. Ubah r dan baca baris jaring-jaring pada panel: persegi panjang itu selalu sekitar 3.14 kali selebar tutup.

Menjepit π di antara dua poligon

Archimedes dari Sirakusa menemukan cara mengapit π tanpa mengukur apa pun. Gambar segi enam beraturan di dalam lingkaran, dengan keenam titik sudutnya pada lingkaran. Segi enam itu terbagi menjadi enam segitiga sama sisi yang bertemu di pusat, sehingga setiap sisinya sama dengan jari-jari dan kelilingnya 6r = 3d. Lingkaran melengkung keluar dari setiap sisi, sehingga kelilingnya lebih panjang daripada 3d: π > 3. Sekarang gambar persegi di luar lingkaran yang menyinggungnya di empat titik. Sisinya sama dengan diameter sehingga kelilingnya 4d, dan lingkaran berada di dalamnya: π < 4.

Biru: segi banyak beraturan di dalam lingkaran. Oranye: segi banyak beraturan di luarnya. Untuk lingkaran berdiameter 1, keliling bangun di dalam menjadi batas bawah π dan keliling bangun di luar menjadi batas atasnya. Dengan dua belas sisi saja, π sudah terjepit antara 3.106 dan 3.215.

Menggandakan jumlah sisi mempersempit kedua batas. Untuk lingkaran berdiameter 1, OpenStax mencantumkan keliling berikut: dengan 8 sisi, antara 3.0615 dan 3.3137; dengan 16 sisi, antara 3.1214 dan 3.1826; dengan 64 sisi, antara 3.1403 dan 3.1441. Archimedes memulai dengan segi enam lalu menggandakan jumlah sisinya empat kali, menjadi 12, 24, 48, dan 96 sisi. Ia tidak menggunakan desimal ataupun trigonometri, dan menghitung akar kuadrat secara manual sebagai pecahan. Kesimpulannya adalah π terletak antara 3 10/71 dan 3 1/7, atau dalam desimal 3.1408 < π < 3.1429. Dengan kalkulator, keliling bangun bersisi 96 adalah 3.14103 dan 3.14271. Kedua pecahannya terletak sedikit di luar nilai-nilai itu, sehingga kedua pertidaksamaan tetap benar.

Sisi	Keliling dalam	Keliling luar
4	2.8284	4.0000
6	3.0000	3.4641
8	3.0615	3.3137
12	3.1058	3.2154
16	3.1214	3.1826
24	3.1326	3.1597
32	3.1365	3.1517
48	3.1394	3.1461
64	3.1403	3.1441
96	3.1410	3.1427

Latar belakangLambangnya muncul jauh setelah bilangannya. Sejarah pi dari MacTutor mencatat bahwa matematikawan Wales William Jones adalah orang pertama yang menggunakan π dengan makna sekarang, pada 1706, dengan menulis “3.14159 etc. = π”. Euler menggunakan lambang itu pada 1737, dan tak lama kemudian lambang tersebut menjadi baku. Perhitungan sudah berlangsung jauh sebelum huruf itu digunakan. Di Tiongkok, Zu Chongzhi (430 sampai 501) memberikan pecahan 355/113, yang bernilai 3.1415929, benar hingga enam tempat desimal. MacTutor mencatat bahwa sangat kecil kemungkinannya ia mengetahui karya Archimedes.

Benang satu meter lebih panjang

Berikut pertanyaan yang rumusnya mengalahkan intuisi. Lilitkan tali dengan rapat mengelilingi bola, lalu tambahkan tepat 1 m pada panjangnya dan angkat secara merata dari permukaan di sekeliling bola. Seberapa lebar celahnya? Keliling baru adalah C + 1, sehingga jari-jari baru adalah (C + 1) ÷ 2π. Nilainya sama dengan jari-jari lama ditambah 1 ÷ 2π, sekitar 0.159 m. Celahnya sekitar 15.9 cm. Ukuran bola tidak pernah muncul dalam perhitungan, sehingga jawabannya sama untuk bola tenis maupun bola sebesar Bumi.

Memakai 3.14 atau tombol π pada kalkulator memberikan jawaban yang sedikit berbeda, karena tombol itu memakai lebih banyak digit. OpenStax Prealgebra membuat catatan yang sama. Pada latihan di bawah, kedua jawaban diterima.

C = πd = 2πr. π ≈ 3.14. Archimedes: 3 10/71 < π < 3 1/7.

Sebuah lingkaran berdiameter 10 cm. Cari kelilingnya (gunakan 3.14 untuk π).
Sebuah lingkaran berjari-jari 3 cm. Cari kelilingnya (gunakan 3.14 untuk π).
Sebuah lingkaran berkeliling 47.1 cm. Cari diameternya (gunakan 3.14 untuk π).
Sebuah lingkaran berkeliling 62.8 cm. Cari jari-jarinya (gunakan 3.14 untuk π).
Sebuah roda selebar 0.7 m berputar 100 kali tanpa selip. Berapa jauh roda itu menggelinding, dalam meter? (gunakan 3.14 untuk π)
Sebuah segi enam beraturan memiliki titik-titik sudutnya pada lingkaran. Kelilingnya sama dengan:
- 3 diameter
- 2 diameter
- 4 diameter
- π diameter
Pernyataan mana yang benar?
- 3 10/71 < π < 3 1/7
- π = 22/7 tepat
- π = 3.14 tepat
- π < 3
Mengapa poligon di dalam lingkaran memberikan batas bawah untuk π?
- setiap sisi adalah jalan pintas melintasi sebuah busur
- sisinya lebih sedikit daripada lingkaran
- titik-titik sudutnya berada di luar lingkaran
- sisinya lebih panjang daripada jari-jari
Sebuah tali di sekeliling bola dibuat 1 m lebih panjang lalu diangkat secara merata. Kira-kira berapa sentimeter celahnya? (satu tempat desimal)
Keliling ÷ diameter untuk lingkaran berjari-jari 100 dibandingkan dengan lingkaran berjari-jari 1:
- sama
- 100 kali lebih besar
- 100 kali lebih kecil
- 10 kali lebih besar
Sebuah persegi digambar mengelilingi lingkaran berdiameter 5 cm. Berapa keliling persegi itu?

Kesalahan umum

"π adalah 22/7." 22/7 = 3.142857…, sedangkan π = 3.141592…. Archimedes memberikan 22/7 sebagai batas atas, bukan sebagai π itu sendiri.
"C = πr." π membandingkan keliling dengan diameter, bukan dengan jari-jari: C = πd = 2πr. Pemeriksaan cepat: keliling harus lebih dari 3 diameter, sedangkan πr hanya sekitar 1.57 diameter.
"Kaleng saya memberi 3.05, jadi π berbeda untuk lingkaran kecil." Benda kecil membuat galat pengukuran menjadi lebih besar secara proporsional. Satu milimeter yang keliru pada kaleng 6 cm dapat mengubah hasil bagi pada digit kedua. Rasionya sendiri sama untuk setiap lingkaran.

Catatan untuk guruDalam kurikulum nasional Korea 2022, materi ini dipelajari di kelas 5 sampai 6 SD. Salah satu standar meminta siswa mengukur keliling dan diameter benda bundar, melihat bahwa pi adalah konstanta, dan menggunakan nilai pendekatan; catatannya menyebut 3.14. Standar berikutnya meminta mereka mencari keliling dari diameter tanpa mengukur. Siswa sering tersendat pada tabel hasil bagi kelas: beberapa hasilnya 3.05 atau 3.2, lalu mereka menyimpulkan bahwa pi berubah-ubah. Tulis semua hasil di papan, urutkan menurut ukuran benda, dan tanyakan pengukuran mana yang paling kurang dapat dipercaya. Penyebaran nilai itu adalah kesalahan pengukuran, dan penyebarannya mengecil untuk benda yang lebih besar.

Poin penting

Keliling ÷ diameter sama untuk setiap lingkaran: π = 3.14159…
C = πd = 2πr. Gunakan 3.14 atau tombol π.
Segi enam di dalam lingkaran memberikan π > 3; persegi di luar lingkaran memberikan π < 4.
Archimedes, poligon 96 sisi: 3 10/71 < π < 3 1/7.

Sumber kursus ini (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Diperiksa: 2026-10-19