Число π и длина окружности
Обмотай ниткой любой круглый предмет один раз: её длина окажется чуть больше трёх диаметров. Архимед заключил это «чуть больше» между 3 10/71 и 3 1/7.
Измерь три круглых предмета
Найди кружку, тарелку и банку из-под напитка. Оберни край каждого предмета бумажной полоской один раз, отметь место нахлёста, затем распрями полоску и измерь её. Полученная длина — длина окружности, то есть расстояние вокруг круга. Затем измерь диаметр: расстояние поперёк верха через середину. Допустим, ширина кружки равна 8 см, а длина окружности 25.1 см; у тарелки это 24 см и 75.4 см. Раздели длину окружности на диаметр. Для кружки 25.1 ÷ 8 = 3.1375. Для тарелки 75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417. Тарелка втрое шире кружки, но оба частных совпадают до двух знаков после точки.
Это частное одинаково для любой окружности, большой или маленькой. Его называют числом пи и обозначают π. OpenStax приводит π = 3.141592654… как отношение длины окружности к диаметру. Поскольку отношение постоянно, сразу получаются две формулы. Длина окружности C = πd, а поскольку d = 2r, также C = 2πr. Окружность диаметра 10 см имеет длину 10π ≈ 31.4 см. Собственные измерения никогда не дадут тебе π точно. Бумага растягивается, у краёв есть толщина, а линейка показывает только миллиметры. Измерения дают первые две цифры. Чтобы получить больше, нужно рассуждение.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
Зажать π между многоугольниками
Архимед из Сиракуз нашёл способ ограничить π, ничего не измеряя. Построй правильный шестиугольник внутри окружности так, чтобы все шесть вершин лежали на ней. Шестиугольник делится на шесть равносторонних треугольников с общей вершиной в центре, поэтому каждая сторона равна радиусу, а периметр равен 6r = 3d. Окружность выступает наружу за каждую сторону, значит, её длина больше 3d: π > 3. Теперь опиши вокруг окружности квадрат, касающийся её в четырёх точках. Его сторона равна диаметру, поэтому периметр равен 4d, а окружность помещается внутри: π < 4.
Удвоение числа сторон сближает обе границы. Для окружности диаметра 1 OpenStax приводит такие периметры: при 8 сторонах от 3.0615 до 3.3137; при 16 сторонах от 3.1214 до 3.1826; при 64 сторонах от 3.1403 до 3.1441. Архимед начал с шестиугольников и четыре раза удвоил число сторон, получив 12, 24, 48 и 96. У него не было ни десятичных дробей, ни тригонометрии; квадратные корни он вычислял вручную в виде обыкновенных дробей. Он заключил, что π лежит между 3 10/71 и 3 1/7, то есть в десятичной записи 3.1408 < π < 3.1429. Калькулятор даёт для 96-угольников периметры 3.14103 и 3.14271. Две дроби Архимеда лежат чуть снаружи этих границ, поэтому оба неравенства остаются верными.
| Стороны | Внутренний периметр | Внешний периметр |
|---|---|---|
| 4 | 2.8284 | 4.0000 |
| 6 | 3.0000 | 3.4641 |
| 8 | 3.0615 | 3.3137 |
| 12 | 3.1058 | 3.2154 |
| 16 | 3.1214 | 3.1826 |
| 24 | 3.1326 | 3.1597 |
| 32 | 3.1365 | 3.1517 |
| 48 | 3.1394 | 3.1461 |
| 64 | 3.1403 | 3.1441 |
| 96 | 3.1410 | 3.1427 |
Ещё метр нитки
Вот задача, в которой формула надёжнее интуиции. Плотно оберни шар ниткой, затем увеличь её длину ровно на 1 м и равномерно подними над поверхностью по всей окружности. Каким будет зазор? Новая длина окружности равна C + 1, поэтому новый радиус равен (C + 1) ÷ 2π. Это прежний радиус плюс 1 ÷ 2π, то есть около 0.159 м. Зазор составит примерно 15.9 см. Размер шара вообще не входит в вычисление, поэтому ответ одинаков для теннисного мяча и для шара размером с Землю.
C = πd = 2πr. π ≈ 3.14. Архимед: 3 10/71 < π < 3 1/7.
- Диаметр окружности равен 10 см. Найди её длину (возьми π = 3.14).
- Радиус окружности равен 3 см. Найди её длину (возьми π = 3.14).
- Длина окружности равна 47.1 см. Найди её диаметр (возьми π = 3.14).
- Длина окружности равна 62.8 см. Найди её радиус (возьми π = 3.14).
- Колесо диаметром 0.7 м делает 100 оборотов без проскальзывания. Сколько метров оно проедет? (возьми π = 3.14)
- Правильный шестиугольник вписан в окружность. Его периметр равен:
- 3 диаметрам
- 2 диаметрам
- 4 диаметрам
- π диаметрам
- Какое утверждение верно?
- 3 10/71 < π < 3 1/7
- π = 22/7 точно
- π = 3.14 точно
- π < 3
- Почему вписанный многоугольник даёт нижнюю границу π?
- каждая сторона сокращает путь по дуге
- у него меньше сторон, чем у окружности
- его вершины лежат вне окружности
- его стороны длиннее радиуса
- Нить, плотно обёрнутую вокруг шара, удлинили на 1 м и равномерно приподняли. Примерно сколько сантиметров составит зазор? (с точностью до десятых)
- Отношение длины окружности к диаметру у окружности радиуса 100 по сравнению с окружностью радиуса 1:
- такое же
- в 100 раз больше
- в 100 раз меньше
- в 10 раз больше
- Квадрат описан вокруг круга диаметра 5 см. Каков периметр квадрата?
- «π равно 22/7». 22/7 = 3.142857…, а π = 3.141592…. Архимед привёл 22/7 как верхнюю границу, а не как само π.
- «C = πr». π связывает длину окружности с диаметром, не радиусом: C = πd = 2πr. Для проверки: окружность длиннее 3 диаметров, а πr лишь около 1.57 диаметра.
- «У банки получилось 3.05: у маленьких окружностей другое π». На маленьких предметах относительная погрешность больше. Миллиметр ошибки на банке 6 см меняет вторую цифру отношения. Само отношение у всех окружностей одно и то же.
- Длина окружности ÷ диаметр — одно и то же число для любой окружности: π = 3.14159…
- C = πd = 2πr. Используй 3.14 или клавишу π.
- Вписанный шестиугольник даёт π > 3, а описанный квадрат — π < 4.
- Архимед с 96-угольниками: 3 10/71 < π < 3 1/7.
Источники курса (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
Проверено: 2026-10-19