edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Геометрия и чертежи›Окружности и круги

Площадь круга: почему πr²

Пицца диаметра 30 см в 1.5 раза шире пиццы 20 см, но еды в 2.25 раза больше.

Догадка «в полтора раза»

В пиццерии продают пиццы диаметром 20 см и 30 см. Большая в 1.5 раза шире, и большинство предполагает, что еды в ней примерно в 1.5 раза больше. Вместо догадки посчитай. У пиццы диаметром 20 см радиус 10 см и площадь π × 10² ≈ 314 см². У пиццы диаметром 30 см радиус 15 см и площадь π × 15² ≈ 707 см². Отношение равно 225 ÷ 100 = 2.25. Догадка неверна, поскольку площадь растёт сразу в двух направлениях: увеличение всех длин в 1.5 раза увеличивает площадь в 1.5 × 1.5 раза. Прежде чем доверять формуле A = πr², давшей эти числа, стоит понять, откуда она берётся.

Разрежь круг на дольки и переложи

Разрежь круг на 8 равных секторов, как пиццу. Выложи их рядом, направляя вершины попеременно вверх и вниз. Получится подобие параллелограмма с волнистыми краями. Его высота примерно равна радиусу r. Наверху лежат дуги четырёх секторов, внизу — остальных четырёх, поэтому каждый волнистый край равен половине длины окружности, πr. Теперь разрежь круг на 24 сектора. Выступы станут меньше, наклонные концы круче, а фигура приблизится к прямоугольнику шириной πr и высотой r. Увеличивая число секторов, можно приблизить фигуру к этому прямоугольнику как угодно близко. Значит, площадь круга равна πr × r = πr².

Слева: круг, разрезанный на 8 секторов, верхняя половина синяя, нижняя оранжевая. Справа: те же секторы, уложенные поочерёдно, сначала 8, затем 24. Фигура приближается к прямоугольнику высотой r и шириной πr, то есть половине длины окружности.

Проверь ответ с помощью квадратов. У квадрата, описанного вокруг окружности радиуса r, сторона равна 2r, а площадь 4r². У вписанного квадрата, вершины которого лежат на окружности, диагонали равны 2r, а площадь 2r². Круг находится между ними, значит, его площадь должна лежать между 2r² и 4r², и πr² ≈ 3.14r² подходит. Правильные многоугольники внутри окружности уменьшают разрыв так же, как при вычислении длины окружности в уроке 2: площадь вписанного правильного 16-угольника около 3.0615r², а 64-угольника около 3.1365r².

Ошибки чаще в исходных данных

Формула короткая, поэтому ошибки возникают ещё до её применения. Если дан диаметр, сначала раздели его пополам: у круга диаметром 8 см радиус r = 4, а площадь 16π ≈ 50.24 см². Если дана длина окружности, сначала найди r из C = 2πr: при C = 31.4 см получаем r = 5 см и площадь 25π ≈ 78.5 см². Площадь измеряется в квадратных единицах, см² или м². Поскольку r возводится в квадрат, удвоение радиуса увеличивает площадь в 4 раза, а утроение — в 9 раз.

Фигуры из прямоугольников и полукругов вычисляются так же, по частям. OpenStax описывает беговую дорожку в форме прямоугольника длиной 105 м и шириной 68 м с полукругом на каждом конце. Диаметр обоих полукругов равен 68 м; вместе они образуют целый круг радиуса 34 м. Площадь внутри дорожки равна 105 × 68 + π × 34² = 7140 + 3631.68… ≈ 10 771.68 м². Площадь кольца между двумя окружностями получается вычитанием малого круга из большого: при радиусах 5 см и 3 см она равна π(25 − 9) = 16π ≈ 50.24 см².

Загружается 3D-модель

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Архимед доказал, что площадь поверхности сферы вчетверо больше площади большого круга, получаемого сечением шара через центр. На панели площадь сферы записана как 4πr². При r = 3 см это примерно 113.1 см², вчетверо больше π × 3² ≈ 28.27 см². Нажми «Цилиндр Архимеда», чтобы увидеть цилиндр, в который шар точно вписывается.
КонтекстИз Египта сохранился более древний ответ. В истории числа пи на MacTutor отмечается, что папирус Ринда, датируемый примерно 1650 годом до н. э., убедительно свидетельствует об использовании значения 4 × (8/9)² ≈ 3.16. Такое число получается, если заменить круг квадратом со стороной 8/9 его диаметра. Для круга диаметром 9 единиц сторона квадрата равна 8, а площадь 64; настоящая площадь круга π × 4.5² ≈ 63.6. Квадрат превышает круг менее чем на 1%, что очень хорошо для правила, которому вообще не требуется π.

A = πr² = (половина длины окружности) × r. Удвой r: площадь вырастет в 4 раза.

  1. Найди площадь круга радиуса 10 см (возьми π = 3.14).
  2. Найди площадь круга диаметром 8 см (возьми π = 3.14).
  3. Во сколько раз площадь пиццы диаметром 30 см больше площади пиццы диаметром 20 см?
  4. Радиус круга удвоили. Его площадь станет:
    • в 4 раза больше
    • в 2 раза больше
    • в 8 раз больше
    • в π раз больше
  5. Длина окружности равна 31.4 см. Найди площадь круга (возьми π = 3.14).
  6. Найди площадь полукруга радиуса 6 см (возьми π = 3.14).
  7. Кольцо лежит между окружностями радиусов 5 см и 3 см с общим центром. Найди его площадь (возьми π = 3.14).
  8. Площадь круга равна 28.26 см². Найди его радиус (возьми π = 3.14).
  9. Если секторы выложены поочерёдно, длинная сторона получившейся фигуры, близкой к прямоугольнику, — это:
    • половина длины окружности
    • вся длина окружности
    • диаметр
    • радиус
  10. Площадь круга радиуса r лежит между:
    • 2r² и 4r²
    • r² и 2r²
    • 4r² и 8r²
    • 2r и 4r
  11. Беговая дорожка — прямоугольник 105 м на 68 м с полукругом на каждом конце длиной 68 м. Найди площадь внутри дорожки с точностью до квадратного метра (используй клавишу π).
Частые ошибки
  • «Площадь круга = 2πr». Это длина окружности, она измеряется в см. Для площади r входит дважды, а единицы — см². При r = 10 длина окружности около 62.8 см, а площадь около 314 см².
  • «По диаметру площадь = π × d²». Если взять d вместо r, ответ получится в 4 раза больше нужного, ведь d² = 4r². Сначала раздели диаметр пополам.
  • «Если круг в 1.5 раза шире, то и площадь в 1.5 раза больше». Площадь растёт как квадрат коэффициента длин: 1.5² = 2.25. Это правило верно для любой фигуры, не только для круга.
Заметка для учителяНациональная учебная программа Южной Кореи 2022 года относит площадь круга к 5–6 классам начальной школы. В примечаниях к стандарту сказано, что ученики должны понять способ нахождения площади круга через площадь прямоугольника. Именно это показывает перестановка секторов на странице. Обычно ученики принимают рисунок с 8 кусками, но сомневаются в переходе к «точному прямоугольнику». Предложи им разрезать бумажные круги на 8, затем на 16 частей и сравнить края. Волны заметно сглаживаются, и вопрос превращается в то, насколько далеко можно продолжать этот процесс. Это и есть правильный вопрос.
Главное
  • A = πr². С 3.14: r × r × 3.14.
  • Если разрезать круг на секторы и выложить их поочерёдно, получится почти прямоугольник шириной πr и высотой r.
  • Если дан диаметр, сначала раздели его пополам. Если дана длина окружности, сначала найди r.
  • Удвоение r увеличивает площадь в 4 раза.
Источники курса (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Проверено: 2026-10-19