Luas lingkaran: mengapa πr²

Pizza berdiameter 30 cm lebarnya 1.5 kali pizza 20 cm, tetapi jumlah yang dapat dimakan 2.25 kali lebih banyak.

Tebakan "satu setengah kali"

Sebuah toko piza menjual piza berdiameter 20 cm dan 30 cm. Piza yang lebih besar memiliki lebar 1.5 kali lipat, dan kebanyakan orang menebak jumlah makanannya juga sekitar 1.5 kali lipat. Hitunglah alih-alih menebak. Piza 20 cm berjari-jari 10 cm dan luasnya π × 10² ≈ 314 cm². Piza 30 cm berjari-jari 15 cm dan luasnya π × 15² ≈ 707 cm². Perbandingannya 225 ÷ 100 = 2.25. Tebakan tadi keliru karena luas bertambah dalam dua arah sekaligus: jika setiap panjang diregangkan 1.5 kali, luas bertambah 1.5 × 1.5 kali. Sebelum memercayai rumus A = πr² yang menghasilkan angka-angka ini, ada baiknya melihat asal rumus tersebut.

Potong menjadi irisan dan susun ulang

Potong lingkaran menjadi 8 juring sama besar, seperti memotong piza. Susun berdampingan dengan ujung mengarah ke atas dan ke bawah secara bergantian. Hasilnya menyerupai jajargenjang dengan tepi bergelombang. Tingginya kira-kira r, yaitu jari-jari. Di bagian atas terdapat busur empat juring dan di bagian bawah busur empat juring lainnya, sehingga setiap tepi bergelombang adalah setengah keliling, πr. Sekarang potong menjadi 24 juring. Gelombangnya mengecil, ujung miringnya menjadi lebih tegak, dan bentuknya mendekati persegi panjang dengan lebar πr dan tinggi r. Dengan semakin banyak juring, bentuknya dapat dibuat sedekat mungkin dengan persegi panjang itu, sehingga luas lingkaran adalah πr × r = πr².

Periksa hasilnya dengan persegi. Persegi di luar lingkaran berjari-jari r memiliki sisi 2r dan luas 4r². Persegi di dalam lingkaran, dengan titik-titik sudut pada lingkaran, memiliki diagonal sepanjang 2r dan luas 2r². Lingkaran berada di antara keduanya, sehingga luasnya harus antara 2r² dan 4r², dan πr² ≈ 3.14r² memenuhi batas itu. Segi banyak beraturan di dalam lingkaran mempersempit celah dengan cara yang sama seperti untuk keliling pada unit 2: segi-16 beraturan di dalam mencakup luas sekitar 3.0615r², dan segi-64 sekitar 3.1365r².

Kebanyakan kesalahan berasal dari masukan

Rumusnya singkat, sehingga kesalahan terjadi sebelum rumus dipakai. Jika yang diberikan adalah diameter, bagi dua terlebih dahulu: lingkaran berdiameter 8 cm memiliki r = 4 dan luas 16π ≈ 50.24 cm². Jika yang diberikan adalah keliling, cari r dari C = 2πr terlebih dahulu: C = 31.4 cm memberikan r = 5 cm dan luas 25π ≈ 78.5 cm². Luas dinyatakan dalam satuan persegi, cm² atau m². Dan karena r dikuadratkan, menggandakan jari-jari mengalikan luas dengan 4, dan melipattigakannya mengalikan luas dengan 9.

Bangun yang tersusun dari persegi panjang dan setengah lingkaran dihitung dengan cara yang sama, bagian demi bagian. OpenStax menggambarkan lintasan lari berbentuk persegi panjang sepanjang 105 m dan selebar 68 m dengan setengah lingkaran di setiap ujungnya. Kedua setengah lingkaran itu berdiameter 68 m dan bersama-sama membentuk satu lingkaran utuh berjari-jari 34 m. Luas daerah yang dilingkupi adalah 105 × 68 + π × 34² = 7140 + 3631.68… ≈ 10 771.68 m². Cincin di antara dua lingkaran adalah lingkaran besar dikurangi lingkaran kecil: di antara jari-jari 5 cm dan 3 cm, cincin itu seluas π(25 − 9) = 16π ≈ 50.24 cm².