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Accueil›Géométrie et dessins›Cercles

Aire du disque : pourquoi πr²

Une pizza de 30 cm de diamètre est 1.5 fois aussi large qu'une de 20 cm, mais contient 2.25 fois autant à manger.

L'estimation « une fois et demie »

Une pizzeria vend des pizzas de 20 cm et 30 cm. La grande est 1.5 fois aussi large ; on imagine souvent qu'elle contient 1.5 fois autant de nourriture. Calcule plutôt. Celle de 20 cm a un rayon de 10 cm et une aire π × 10² ≈ 314 cm². Celle de 30 cm a un rayon de 15 cm et une aire π × 15² ≈ 707 cm². Le rapport vaut 225 ÷ 100 = 2.25. L'estimation échoue car l'aire augmente dans deux directions : multiplie les longueurs par 1.5, et l'aire par 1.5 × 1.5. Avant de croire A = πr², voyons d'où vient cette formule.

Découpe le disque en parts et dispose-les

Découpe un disque en 8 secteurs égaux, comme une pizza. Pose-les côte à côte, pointes alternativement en haut et en bas. Tu obtiens un parallélogramme aux bords ondulés. Sa hauteur vaut environ r, le rayon. En haut, les arcs de quatre secteurs ; en bas, les quatre autres : chaque bord ondulé vaut la demi-circonférence, πr. Essaie avec 24 secteurs. Les ondulations diminuent, les extrémités deviennent plus verticales et la forme approche un rectangle de largeur πr et hauteur r. Avec toujours plus de secteurs, l'approximation devient aussi précise qu'on veut ; l'aire vaut πr × r = πr².

À gauche : disque en 8 secteurs, moitié haute bleue et basse orange. À droite : mêmes secteurs alternés, d'abord 8 puis 24. La forme approche un rectangle de hauteur r et largeur πr, la demi-circonférence.

Vérifie avec des carrés. Un carré autour d'un disque de rayon r a pour côté 2r et aire 4r². Un carré inscrit, sommets sur le cercle, a des diagonales de 2r et une aire 2r². Le disque est entre eux ; son aire est donc entre 2r² et 4r², ce qui convient à πr² ≈ 3.14r². Les polygones inscrits réduisent l'écart comme pour la circonférence dans l'unité 2 : celui à 16 côtés couvre environ 3.0615r², celui à 64 environ 3.1365r².

La plupart des erreurs viennent des données

La formule est courte ; les erreurs se produisent avant. Avec le diamètre, commence par le diviser par deux : diamètre 8 cm donne r = 4 et aire 16π ≈ 50.24 cm². Avec la circonférence, trouve d'abord r par C = 2πr : C = 31.4 cm donne r = 5 cm et aire 25π ≈ 78.5 cm². Les aires utilisent cm² ou m². Comme r est au carré, doubler le rayon multiplie l'aire par 4, le tripler par 9.

Les figures composées de rectangles et de demi-disques se traitent de la même façon, morceau par morceau. OpenStax décrit une piste de course en forme de rectangle de 105 m de long et 68 m de large, avec un demi-disque à chaque extrémité. Les deux demi-disques ont un diamètre de 68 m et forment ensemble un disque entier de rayon 34 m. L'aire enfermée est 105 × 68 + π × 34² = 7140 + 3631.68… ≈ 10 771.68 m². Une couronne entre deux cercles est le grand disque moins le petit : entre des rayons de 5 cm et 3 cm, la couronne couvre π(25 − 9) = 16π ≈ 50.24 cm².

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Archimède montra que l'aire d'une sphère vaut quatre fois celle d'un grand disque, obtenu en la coupant par son centre. Le panneau donne 4πr². Pour r = 3 cm, cela fait environ 113.1 cm², quatre fois π × 3² ≈ 28.27 cm². Appuie sur Cylindre d’Archimède pour voir le cylindre contenant juste la sphère.
ContexteUne réponse plus ancienne vient d'Égypte. L'histoire de pi de MacTutor indique que le papyrus Rhind, vers 1650 avant notre ère, témoigne de la valeur 4 × (8/9)² ≈ 3.16. On l'obtient en remplaçant un disque par un carré de côté 8/9 du diamètre. Pour diamètre 9, le carré a un côté de 8 et une aire de 64, contre π × 4.5² ≈ 63.6 pour le disque. Il dépasse de moins de 1 %, très bon résultat pour une règle sans π.

A = πr² = (demi-circonférence) × r. Double r et l'aire est multipliée par 4.

  1. Trouve l'aire d'un disque de rayon 10 cm (prends 3.14 pour π).
  2. Trouve l'aire d'un disque de diamètre 8 cm (prends 3.14 pour π).
  3. L'aire d'une pizza de 30 cm représente combien de fois celle d'une pizza de 20 cm ?
  4. Tu doubles le rayon d'un disque. Son aire devient :
    • 4 fois plus grande
    • 2 fois plus grande
    • 8 fois plus grande
    • π fois plus grande
  5. Un cercle a une circonférence de 31.4 cm. Trouve l'aire du disque (prends 3.14 pour π).
  6. Trouve l'aire d'un demi-disque de rayon 6 cm (prends 3.14 pour π).
  7. Une couronne est comprise entre deux cercles concentriques de rayons 5 cm et 3 cm. Trouve son aire (prends 3.14 pour π).
  8. Un disque a une aire de 28.26 cm². Trouve son rayon (prends 3.14 pour π).
  9. Quand on alterne les secteurs, le grand côté du presque-rectangle vaut :
    • la demi-circonférence
    • la circonférence entière
    • le diamètre
    • le rayon
  10. L'aire d'un disque de rayon r est entre :
    • 2r² et 4r²
    • r² et 2r²
    • 4r² et 8r²
    • 2r et 4r
  11. Une piste est un rectangle de 105 m par 68 m avec un demi-disque à chaque extrémité de 68 m. Trouve l'aire au mètre carré près (touche π).
Erreurs fréquentes
  • « Aire du disque = 2πr. » C'est la circonférence, une longueur en cm. L'aire demande r deux fois et s'exprime en cm². Pour r = 10, la circonférence vaut environ 62.8 cm et l'aire environ 314 cm².
  • « Avec le diamètre, aire = π × d². » Remplacer r par d donne un résultat 4 fois trop grand, car d² = 4r². Divise d'abord le diamètre par deux.
  • « 1.5 fois la largeur signifie 1.5 fois l'aire. » L'aire suit le carré du coefficient : 1.5² = 2.25. Cela vaut pour toute figure, pas seulement les disques.
Note du professeurLe programme national coréen de 2022 place l'aire du disque à l'école primaire, en 5e et 6e années. Les notes de cet objectif disent que les élèves doivent comprendre comment trouver l'aire d'un disque à l'aide de la méthode de l'aire du rectangle, c'est-à-dire le réarrangement des secteurs de cette page. Les élèves acceptent en général l'image des 8 parts, mais doutent du passage à « exactement un rectangle ». Laisse-les découper des disques de papier en 8 puis en 16 parts et comparer les bords. Les ondulations s'aplatissent visiblement, et la question devient jusqu'où le procédé peut aller, ce qui est la bonne question.
L'essentiel
  • A = πr². Avec 3.14 : r × r × 3.14.
  • Découpé en secteurs alternés, le disque devient presque un rectangle de largeur πr et hauteur r.
  • Avec le diamètre, divise d'abord par deux. Avec la circonférence, trouve d'abord r.
  • Doubler r multiplie l'aire par 4.
Sources de ce cours (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Consulté le: 2026-10-19