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Home›Geometria e disegno›Cerchi

Area del cerchio: perché πr²

Una pizza di 30 cm di diametro è larga 1.5 volte una pizza da 20 cm, ma ha 2.25 volte la quantità da mangiare.

L'ipotesi «una volta e mezza»

Una pizzeria vende una pizza di 20 cm e una di 30 cm. Quella più grande è larga 1.5 volte l'altra e la maggior parte delle persone immagina che contenga circa 1.5 volte tanto cibo. Invece, fai il calcolo. La pizza di 20 cm ha raggio 10 cm e area π × 10² ≈ 314 cm². La pizza di 30 cm ha raggio 15 cm e area π × 15² ≈ 707 cm². Il rapporto è 225 ÷ 100 = 2.25. La stima è sbagliata perché l'area cresce in due direzioni contemporaneamente: moltiplica ogni lunghezza per 1.5 e l'area aumenta di 1.5 × 1.5. Prima di fidarti della formula A = πr² che ha prodotto questi numeri, vale la pena vedere da dove viene.

Taglia il cerchio a fette e riordinale

Taglia un cerchio in 8 settori uguali, come faresti con una pizza. Disponili uno accanto all'altro, alternando le punte verso l'alto e verso il basso. Il risultato somiglia a un parallelogramma dai bordi ondulati. La sua altezza è circa r, il raggio. Lungo il bordo superiore ci sono gli archi di quattro settori e lungo quello inferiore gli archi degli altri quattro, quindi ciascun bordo ondulato è metà della circonferenza, πr. Ora taglia invece 24 settori. Le ondulazioni diventano più piccole, i lati obliqui diventano più ripidi e la figura si avvicina a un rettangolo di base πr e altezza r. Aumentando sempre il numero dei settori, la figura si avvicina a quel rettangolo quanto vuoi, quindi l'area del cerchio è πr × r = πr².

A sinistra: un cerchio diviso in 8 settori, la metà superiore blu e la metà inferiore arancione. A destra: gli stessi settori disposti in modo alternato, prima 8, poi 24. La figura si avvicina a un rettangolo di altezza r e larghezza πr, metà della circonferenza.

Verifica il risultato confrontandolo con dei quadrati. Un quadrato circoscritto a un cerchio di raggio r ha lato 2r e area 4r². Un quadrato inscritto, con i vertici sulla circonferenza, ha diagonali di lunghezza 2r e area 2r². Il cerchio si trova tra i due, quindi la sua area deve essere compresa tra 2r² e 4r², e πr² ≈ 3.14r² rispetta questa condizione. I poligoni regolari inscritti riducono lo scarto come già facevano per la circonferenza nell'unità 2: un poligono regolare di 16 lati inscritto copre circa 3.0615r², uno di 64 lati circa 3.1365r².

Gli errori nascono spesso dai dati

La formula è breve, quindi gli errori si commettono prima di applicarla. Se conosci il diametro, prima dividilo a metà: un cerchio con diametro 8 cm ha r = 4 e area 16π ≈ 50.24 cm². Se conosci la lunghezza della circonferenza, prima ricava r da C = 2πr: C = 31.4 cm dà r = 5 cm e area 25π ≈ 78.5 cm². Le aree si esprimono in unità quadrate, cm² o m². E poiché r è elevato al quadrato, raddoppiare il raggio moltiplica l'area per 4 e triplicarlo moltiplica l'area per 9.

Le figure composte da rettangoli e semicerchi si trattano allo stesso modo, un pezzo alla volta. OpenStax descrive una pista da corsa a forma di rettangolo lungo 105 m e largo 68 m, con un semicerchio a ogni estremità. I due semicerchi hanno diametro 68 m e insieme formano un cerchio intero di raggio 34 m. L'area racchiusa è 105 × 68 + π × 34² = 7140 + 3631.68… ≈ 10 771.68 m². Una corona circolare tra due circonferenze si ottiene sottraendo il cerchio piccolo da quello grande: tra i raggi di 5 cm e 3 cm, la corona ha area π(25 − 9) = 16π ≈ 50.24 cm².

Caricamento del modello 3D

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Archimede dimostrò che la superficie di una sfera è quattro volte l'area di un cerchio massimo, il cerchio che si ottiene tagliando la sfera per il suo centro. Il pannello dà l'area della sfera come 4πr². Per r = 3 cm vale circa 113.1 cm², quattro volte π × 3² ≈ 28.27 cm². Premi Cilindro di Archimede per vedere il cilindro che contiene la sfera esattamente.
ContestoDall'Egitto ci è giunta una risposta più antica. La storia del pi greco di MacTutor osserva che il papiro di Rhind, datato intorno al 1650 a.C., fornisce buone testimonianze del valore 4 × (8/9)² ≈ 3.16. È il numero che ottieni sostituendo un cerchio con un quadrato il cui lato è 8/9 del diametro. Per un cerchio con diametro 9 unità, il quadrato ha lato 8 e area 64, mentre l'area vera del cerchio è π × 4.5² ≈ 63.6. Il quadrato è troppo grande di meno dell'1%, un ottimo risultato per una regola che non richiede affatto π.

A = πr² = (metà circonferenza) × r. Raddoppia r e l'area diventa 4 volte maggiore.

  1. Trova l'area di un cerchio di raggio 10 cm (usa 3.14 per π).
  2. Trova l'area di un cerchio di diametro 8 cm (usa 3.14 per π).
  3. Una pizza da 30 cm ha un'area pari a quante volte quella di una pizza da 20 cm?
  4. Raddoppi il raggio di un cerchio. La sua area diventa:
    • 4 volte maggiore
    • 2 volte maggiore
    • 8 volte maggiore
    • π volte maggiore
  5. Una circonferenza è lunga 31.4 cm. Trova la sua area (usa 3.14 per π).
  6. Trova l'area di un semicerchio di raggio 6 cm (usa 3.14 per π).
  7. Una corona circolare sta tra due circonferenze concentriche di raggio 5 cm e 3 cm. Trova la sua area (usa 3.14 per π).
  8. Un cerchio ha area 28.26 cm². Trova il suo raggio (usa 3.14 per π).
  9. Riordinando alternativamente i settori, il lato lungo del quasi rettangolo è:
    • metà circonferenza
    • l'intera circonferenza
    • il diametro
    • il raggio
  10. L'area di un cerchio di raggio r è tra:
    • 2r² e 4r²
    • r² e 2r²
    • 4r² e 8r²
    • 2r e 4r
  11. Una pista è un rettangolo di 105 m per 68 m con un semicerchio su ciascuno dei lati di 68 m. Trova l'area racchiusa al metro quadrato più vicino (usa il tasto π).
Errori comuni
  • «Area del cerchio = 2πr.» Questa è la circonferenza, una lunghezza in cm. L'area richiede r due volte ed è in cm². Per r = 10 la circonferenza è circa 62.8 cm e l'area circa 314 cm².
  • «Con il diametro, area = π × d².» Usare d invece di r dà un risultato 4 volte troppo grande, perché d² = 4r². Dimezza prima il diametro.
  • «Larga 1.5 volte significa area 1.5 volte maggiore.» L'area cambia con il quadrato del fattore di scala delle lunghezze: 1.5² = 2.25. La stessa regola vale per ogni figura, non solo per i cerchi.
Nota per l'insegnanteIl curricolo nazionale coreano del 2022 colloca l'area del cerchio nella scuola primaria, nelle classi 5 e 6. Le note a quello standard dicono che gli studenti devono capire come trovare l'area di un cerchio usando il metodo per l'area di un rettangolo: è proprio la ridisposizione dei settori di questa pagina. Gli studenti solitamente accettano l'immagine con 8 spicchi, ma dubitano del passaggio a «esattamente un rettangolo». Fai tagliare loro dei cerchi di carta in 8 e poi in 16 spicchi e confrontare i bordi. Le ondulazioni si appiattiscono visibilmente e la domanda diventa fin dove si possa proseguire il procedimento, che è la domanda giusta.
Punti chiave
  • A = πr². Con 3.14: r × r × 3.14.
  • Tagliato in settori e disposto in modo alternato, un cerchio diventa quasi un rettangolo largo πr e alto r.
  • Se è dato il diametro, dimezzalo prima. Se è data la circonferenza, trova prima r.
  • Raddoppiare r moltiplica l'area per 4.
Fonti di questo corso (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Consultato il: 2026-10-19