edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Meetkunde en tekeningen›Cirkels

Cirkeloppervlakte: waarom πr²

Een pizza van 30 cm is 1.5 keer zo breed als een pizza van 20 cm, maar bevat 2.25 keer zoveel eten.

De gok ‘anderhalf keer’

Een pizzeria verkoopt pizza's van 20 cm en van 30 cm. De grotere is 1.5 keer zo breed. De meeste mensen schatten daarom dat hij ongeveer 1.5 keer zoveel eten bevat. Reken het liever uit. De pizza van 20 cm heeft een straal van 10 cm en een oppervlakte van π × 10² ≈ 314 cm². De pizza van 30 cm heeft een straal van 15 cm en een oppervlakte van π × 15² ≈ 707 cm². De verhouding is 225 ÷ 100 = 2.25. De schatting klopt niet omdat oppervlakte tegelijk in twee richtingen groeit: vergroot elke lengte met factor 1.5 en de oppervlakte groeit met 1.5 × 1.5. Voordat je de gebruikte formule A = πr² vertrouwt, is het goed te zien waar die vandaan komt.

Snijd de cirkel in stukken en leg ze uit

Knip een cirkel in 8 gelijke sectoren, zoals bij een pizza. Leg ze naast elkaar, afwisselend met de punt omhoog en omlaag. Het resultaat lijkt op een hobbelig parallellogram. De hoogte is ongeveer r, de straal. Bovenaan liggen de bogen van vier sectoren en onderaan die van de andere vier. Elke golvende rand is dus de halve omtrek, πr. Knip er nu 24. De hobbels worden kleiner en de schuine uiteinden steiler. De vorm lijkt steeds meer op een rechthoek met breedte πr en hoogte r. Met steeds meer sectoren kun je die rechthoek zo dicht benaderen als je wilt. De cirkeloppervlakte is dus πr × r = πr².

Links staat een cirkel die in 8 sectoren is verdeeld, met de bovenste helft blauw en de onderste oranje. Rechts liggen dezelfde sectoren afwisselend naast elkaar, eerst 8 en daarna 24. De vorm nadert een rechthoek met hoogte r en breedte πr, de halve omtrek.

Controleer het antwoord met vierkanten. Een vierkant om een cirkel met straal r heeft zijde 2r en oppervlakte 4r². Een vierkant binnen de cirkel, met zijn hoekpunten op de cirkel, heeft diagonalen van lengte 2r en oppervlakte 2r². De cirkel ligt ertussen, dus zijn oppervlakte moet tussen 2r² en 4r² liggen. Daar past πr² ≈ 3.14r² bij. Regelmatige veelhoeken binnen de cirkel verkleinen het verschil op dezelfde manier als bij de omtrek in hoofdstuk 2: een ingeschreven regelmatige 16-hoek bedekt ongeveer 3.0615r² en een 64-hoek ongeveer 3.1365r².

De meeste fouten zitten in de invoer

De formule is kort, dus fouten ontstaan meestal al vóór het invullen. Krijg je de diameter, halveer die dan eerst: bij een cirkel van 8 cm breed is r = 4 en de oppervlakte 16π ≈ 50.24 cm². Krijg je de omtrek, bepaal r dan eerst met C = 2πr: C = 31.4 cm geeft r = 5 cm en een oppervlakte van 25π ≈ 78.5 cm². Oppervlakten druk je uit in vierkante eenheden, zoals cm² of m². Omdat r wordt gekwadrateerd, wordt de oppervlakte bij een dubbele straal 4 keer zo groot en bij een drievoudige straal 9 keer zo groot.

Vormen van rechthoeken en halve cirkels behandel je op dezelfde manier, onderdeel voor onderdeel. OpenStax beschrijft een atletiekbaan als een rechthoek van 105 m lang en 68 m breed met aan elk uiteinde een halve cirkel. Die halve cirkels hebben een diameter van 68 m en vormen samen één cirkel met straal 34 m. De ingesloten oppervlakte is 105 × 68 + π × 34² = 7140 + 3631.68… ≈ 10 771.68 m². Een ring tussen twee cirkels is de grote cirkel min de kleine. Bij stralen van 5 cm en 3 cm is de ringoppervlakte π(25 − 9) = 16π ≈ 50.24 cm².

Het 3D-model wordt geladen

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

Archimedes liet zien dat de oppervlakte van een bol vier keer de oppervlakte van een grootcirkel is. Dat is de cirkel die ontstaat als je de bol door het middelpunt snijdt. Het paneel geeft de boloppervlakte als 4πr². Bij r = 3 cm is dat ongeveer 113.1 cm², vier keer π × 3² ≈ 28.27 cm². Druk op Cilinder van Archimedes om de cilinder te zien waar de bol precies in past.
AchtergrondUit Egypte is een oudere oplossing bewaard gebleven. Volgens de geschiedenis van pi bij MacTutor geeft de Rhindpapyrus, van ongeveer 1650 v.Chr., goede aanwijzingen voor de waarde 4 × (8/9)² ≈ 3.16. Die krijg je als je een cirkel vervangt door een vierkant waarvan de zijde 8/9 van de diameter is. Bij een cirkel met diameter 9 heeft dat vierkant zijde 8 en oppervlakte 64. De echte cirkeloppervlakte is π × 4.5² ≈ 63.6. Het vierkant is minder dan 1% te groot: een heel goed resultaat voor een regel waarvoor je helemaal geen π nodig hebt.

A = πr² = (halve omtrek) × r. Verdubbel je r, dan wordt de oppervlakte 4 keer zo groot.

  1. Een cirkel heeft straal 10 cm. Bepaal de oppervlakte (gebruik 3.14 voor π).
  2. Een cirkel heeft diameter 8 cm. Bepaal de oppervlakte (gebruik 3.14 voor π).
  3. Hoeveel keer zoveel oppervlakte heeft een pizza van 30 cm als een pizza van 20 cm?
  4. Je verdubbelt de straal van een cirkel. De oppervlakte wordt:
    • 4 keer zo groot
    • 2 keer zo groot
    • 8 keer zo groot
    • π keer zo groot
  5. Een cirkel heeft omtrek 31.4 cm. Bepaal de oppervlakte (gebruik 3.14 voor π).
  6. Bepaal de oppervlakte van een halve cirkel met straal 6 cm (gebruik 3.14 voor π).
  7. Een ring ligt tussen twee cirkels met hetzelfde middelpunt en stralen van 5 cm en 3 cm. Bepaal de oppervlakte (gebruik 3.14 voor π).
  8. Een cirkel heeft oppervlakte 28.26 cm². Bepaal de straal (gebruik 3.14 voor π).
  9. Bij afwisselend gelegde sectoren is de lange zijde van de bijna-rechthoek:
    • de halve omtrek
    • de hele omtrek
    • de diameter
    • de straal
  10. De oppervlakte van een cirkel met straal r ligt tussen:
    • 2r² en 4r²
    • r² en 2r²
    • 4r² en 8r²
    • 2r en 4r
  11. Een baan bestaat uit een rechthoek van 105 m bij 68 m met aan elk uiteinde van 68 m een halve cirkel. Bepaal de ingesloten oppervlakte in hele vierkante meters (gebruik de π-toets).
Veelgemaakte fouten
  • ‘Cirkeloppervlakte = 2πr.’ Dat is de omtrek, een lengte in cm. Voor de oppervlakte heb je r tweemaal nodig en die wordt uitgedrukt in cm². Bij r = 10 is de omtrek ongeveer 62.8 cm en de oppervlakte ongeveer 314 cm².
  • ‘Met de diameter is de oppervlakte π × d².’ Als je d in plaats van r gebruikt, wordt het antwoord 4 keer te groot, want d² = 4r². Halveer de diameter eerst.
  • ‘1.5 keer zo breed betekent 1.5 keer zoveel oppervlakte.’ De oppervlakte schaalt met het kwadraat van de lengtefactor: 1.5² = 2.25. Dezelfde regel geldt voor elke vorm, niet alleen voor cirkels.
Voor de docentHet Koreaanse nationale curriculum van 2022 behandelt de cirkeloppervlakte in de basisschoolleerjaren 5 tot 6. De toelichting zegt dat leerlingen moeten begrijpen hoe je die vindt met de methode voor een rechthoekoppervlakte. Dat is precies het herschikken van sectoren op deze pagina. Leerlingen aanvaarden meestal het plaatje met 8 stukken, maar twijfelen aan de stap naar ‘precies een rechthoek’. Laat hen papieren cirkels in 8 en daarna 16 stukken knippen en de randen vergelijken. De hobbels worden zichtbaar vlakker. Dan wordt de vraag hoe ver dat proces kan doorgaan, en dat is de juiste vraag.
Belangrijkste punten
  • A = πr². Met 3.14: r × r × 3.14.
  • Als je een cirkel in sectoren knipt en die afwisselend legt, ontstaat bijna een rechthoek van πr breed en r hoog.
  • Heb je de diameter, halveer die dan eerst. Heb je de omtrek, bepaal dan eerst r.
  • Verdubbel je r, dan wordt de oppervlakte 4 keer zo groot.
Bronnen van deze cursus (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Geraadpleegd: 2026-10-19